2,3,4 usurele... la 5 :
S=2^0+2^1...+2^98+2^99 inmultim (atat in dreapta cat si in stanga cu 2)
=> 2*S=2*2^0+2*2^1...+2*2^98+2^99=>
=>2*S=2^1+2^2+...+2^99+2^100
daca scadem 2*S-S o sa ajungem la :
S=2^100-1
ca S sa fie divizibil cu 15, trebuie sa aratam ca este divizibil cu 5 si cu 3
daca S are ultima cifra 0 sau 5, atunci este divizibil cu 5
U(S)=U(2^100 -1) =U((2^4)^25 -1) =U(6-1) =5 => suma noastra este divizibila cu 5
mai ramane sa aratam ca S este divizibila cu 3
acuma... nu stiu in ce clasa esti...
una din metode ar fi asa :
S=2^100 -1 ; cum 2^10 =1024 => S=1024^10 -1
iar 1024^10 -1 =(1000+24)^10 -1 = (10^3 +3*8) ^10 -1 =M10 +M3 -1 =M9+M3
si evident este divizibil cu 3
iar la b) sa arati ca S are cel putin 30 de cifre.
putem arata daca S > 100...000 (29 de zero-uri)
cum S=2^100-1 avem de la a) ca S=1024^10-1 >1000^10 =(10^3)^10 =10...0(29 de 0-uri)
^ = la puterea
M3 = multiplu de 3
