v01=45m/s
v02=5m/s
g=10N/kg
Pentru primul corp ecuatiile vitezei si spatiului sunt:
v1=v01-gt
y1=v01t-gt²/2
Pentru al doilea corp ecuatiile sunt:
v2=v02+gt
y2=h-v02t-gt²/2
In momentul intalnirii inaltimea, masurata de la sol, la care se afla cele doua corpuri devine aceeasi, adica
y1=y2:
v01t-gt²/2=h-v02t-gt²/2 (1)
Problema ne spune ca, in acelasi moment, vitezele corpurilor sunt egale,
v1=v2:
v01-gt=v02+gt (2)
Din relatia (2) obtinem timpul de intalnire:
2gt=v01-v02
t=(v01-v02)/2g (3)
Ecuatia (1) se mai poate scrie:
v01t=h-v02t sau:
h=t(v01+v02)
Inlocuim t cu valoarea de intalnire, conform (3):
h=(v01+v02)(v01-v02)/2g
h=(45+5)(45-5)/(2×10)
h=50×40/20
h=2000/20=100
Inaltimea de la care cade al doilea corp (o vom nota cu h2) este atunci:
h2=100m
b)
Calculam timpul de cadere t2 pentru al doilea corp. In momentul cand al doilea corp ajunge la sol, y2=0, h=h2 si t=t2. Ecuatia y2=h-v02t-gt²/2, devine
0=h2-v02t2-g(t2)²/2 (4)
Am obtinut o ecuatie de gradul 2 in necunoscuta t2:
O rezolvam, aplicand formula cunoscuta, dupa inlocuirea coeficientilor:
0=100-5t2-10t2²/2⇒-5t2²-5t2+100=0⇒-t2²-t2+20=0⇒t²+t-20=0
t2₁,₂=[-1+/-√(1²+4×1×20)]/(2×1)
t2₁,₂=(-1+/-√81)/2
t2₁,₂=(-1+/-9)/2
t2₁=(-1+9)/2=8/2=4
t2₂=(-1-9)/2=-10/2=-5. Absurd! Timpul nu poate fi negativ!
Deci
t2=4s
Calculam acum timpul t1 in care primul corp ajunge sa atinga la cadere, pamantul.
Mai intai calculam timpul t1' in care primul corp ajunge la inaltimea maxima h1, cand viteza lui devine v1=0.
In ecuatia vitezei la urcare a primului corp
v1=v01-gt , facem v1=0 si t=t1'
0=v01-gt1'
gt1'=v01 ⇒t1'=v01/g; ⇒t1'=45/10=4,5⇒t1'=4,5s
Inaltimea maxima, h1, la care ajunge primul corp va fi obtinuta facand t=t1' si y1=h1 in legea miscarii: y1=v01t-gt²/2
h1=v01t1'-g(t1')²/2
h1=45×4,5-10×4,5²/2
h1=202,5-10×22,25/2
h1=202,5-111,5=91
h1=91m
Acum calculam timpul t1'' in care primul corp, ajuns la inaltimea maxima cade inapoi pe pamant
Folosim ecuatia spatiului la cadere libera (fara viteza initiala),
y1=h1-gt²/2
in care spatiul (la sol) este 0. y1=0 si t=t1''
0=h1-g(t1'')²/2
0=91-10×(t1'')²/2
5(t1'')²=91
(t1'')²=18,2⇒t1''=4,27
t1''=4,27s
Atunci
t1=t1'+t1''
t1=4,5+4,27≈8,77s
Atunci intervalul de timp Δt care desparte momentele caderii este:
Δt=t1-t2=8,77-4=4,77s
Δt=4,77s
c)
Ecuatia vitezei pentru primul corp (cadere libera) este:
v1=gt
La sol, timpul este timpul de cadere t1''=4,27s
Atunci
v1=10×4,27=42,7
v1=42,7m/s
Pentru al doilea corp, ecuatia vitezei cu viteza initiala (v02=5m/s) este:
v2=v02+gt2
v2=5+10×4=5+40=45m/s
v2=45m/s
