pe [tex] 2^{2016 } [/tex] il putem scrie ca o suma Gauss de puteri ale lui 2
S=[tex] 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} +.......+ 2^{2015} =1+2+ 2^{2} +....+ 2^{2015} [/tex] inmultim acesta suma cu 2 si va deveni
2S=[tex]2+ 2^{2} + 2^{3} +.........+ 2^{2016} [/tex]
efectuam scaderea 2S -S
2S=[tex]2+ 2^{2} + 2^{3} +.....+ 2^{2015} ....+ 2^{2016} [/tex] -
S=[tex]-1-2- 2^{2} -...- 2^{2015}[/tex]
___________________________________________________
S=[tex] 2^{2016} -1[/tex]
de unde [tex] 2^{2016} [/tex] =S+1
inlocuim aceasta expresie in numarul a
a=14 +S+1 =15+S = 15+1+2+[tex] 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} +..........+ 2^{2015} [/tex]
grupand termenii sumei cate 4 si dand factor comun vom avea
a=15 +(1+2+4+8)+[tex] 2^{4} [/tex](1+2+[tex] 2^{2} + 2^{3} [/tex])+......+[tex] 2^{2012} *(1+2+ 2^{2} + 2^{3})[/tex]
dam factor comun 15 si vom avea
a=15*(1+1+[tex] 2^{4} +......+ 2^{2012} [/tex]) de unde rezulta ca
a este divizibil cu 15 adica multiplu de 15
