Sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n avem:
a)n^3+11n este divizibil cu 6
b)10^n +18n-28 este divizibil cu 27
c)9^{n+1}-8n-9 este divizibil cu 16.
Prin inductie matematica ,va rog.....
a)P(n): n³+11n divizibil cu 6 Prima etapa a inductiei: Ii dam lui n valoarea 2: 2³+11*2 divizibil cu 6 30 e divizibil cu 6=>P(2) adevarat. Presupunem ca P(k) e adevarat Formam P(k+1) P(k+1) : (k+1)³+11(k+1) divizibil cu 6 => k³+3k²+3k+1+11k+11=> (k³+11k)+3k²+3k+12<=> (k³+11k)+12+3k(k+1); de aici deducem ca este divizibil cu 6 =>P(k) adevarata. b)10^n+18n-28 P(0) : 1+0-28 ==27 =>divizibil cu 27 =>P(0) adevarata. Presupunem ca P(k ) e adevarata si demonstram P(k+1) 10 ^k+1 +18(k+1) -28 10*10^k+18k+18-28 10*10^k+18k-10 ; grupandu-i ca sa formam ce am avut prima data, obtinem ca este divizibil cu 27. c) 9 ^n+1-8n-9 P(1): 81-8-9= 64 =>ca este divizibil cu 16; deci P(1) e adevarata. Presupunem ca P(k) e adevarata si demonstram P(k+1) 9^n+1 - 8n-9= 9^n*9 -8n-9 Daca n=2k 9^2k* 9 -16k-9= 81^k-16k-9 =(80+1) ^k -16k-9=Multiplu de 16+9 -16k -9=M16 Daca n=2k+1 => 81^k+81-16k -8-9 =Multiplu de 16 +81 -16k-17=Multiplu de 16 -64=Multimplu de 16 Deci, P(k+1) e adevarata=>P(n) e adevarata.
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!
