se poate arata facand efectiv inmultirea
[tex] \frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} [/tex]
in stanga amplific cu n+1 la prima fractie si cu n la a doua si rezulta
[tex] \frac{1}{n^2+n} = \frac{n+1 - n}{n(n+1)} [/tex]
se observa ca fractiile au acelasi numitor (n(n+1)=n^2+n)
rezulta
[tex] \frac{1}{n^2+n}= \frac{1}{n^2+n} [/tex]
Ceea ce este adevarat
iar la S=[tex] \frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} +.......+ \frac{1}{19*20} [/tex]
se aplica regula demonstrata mai sus pentru a despartii fractiile si rezulta
[tex]S= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} +.....+ \frac{1}{19} - \frac{1}{20} [/tex]
Si se observa ca se simplifica toti termenii, inafara de primul si ultimul (-1/2+1/2=0 si tot asa)
si ramane
S=[tex] \frac{1}{1} - \frac{1}{20}= \frac{19}{20} [/tex]
