Răspuns :
[tex]\texttt{Enuntul problemei:} \\ \text{intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este egala } \\ \text{cu 20,8 dm iar lungimiile proiectiilor catetelor sunt direct proportionale} \\ \text{cu 0,1(6) si 0,375. Aflati lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei.} \\ \\ Notat: \\ \Delta ABC ~cu~ \ \textless \ A=90^o \\ Ipotenuza~BC \\ Catetele AB~ si ~AC ~si ~ inaltimea AD ~unde ~D \in BC\\ Se ~cere: \\ AD = ?[/tex]
[tex]\displaystyle Rezolvare: \\ \frac{BD}{0,1(6)}= \frac{CD}{0,375} ~\Longleftrightarrow~ \frac{BD}{ \frac{16-1}{90}}= \frac{CD}{ \frac{375}{1000}} ~\Longleftrightarrow~ \frac{BD}{ \frac{1}{6}}= \frac{CD}{ \frac{3}{8}} =k \\ BD+CD=20,8 \\ --- \\ BD= \frac{1}{6}k ~~si~~CD=\frac{3}{8}k \\ \\ BD+CD= \frac{1}{6}k+ \frac{3}{8}k= 20,8 \\ \\ \frac{4k+9k}{24}=20,8 \\ \\ 13k= 24 \times 20,8 \\ k= \frac{24 \times 20,8}{13}= 24 \times 1,6 = 38,4 [/tex]
[tex]\displaystyle \\ BD= \frac{1}{6}k = \frac{1}{6} \times 38,4 = \frac{38,4}{6}= \boxed{6,4 ~dm} \\ \\ CD=\frac{3}{8}k= \frac{3}{8}\times 38,4= \frac{3 \times 38,4}{8}=3 \times 4,8 = \boxed{14,4 ~dm} \\ \\ \text{Aflam catetele folosind teorema catetei:}\\ \text{Patratul catetei = prod. dintre ipotenuza si proiectia ei pe ipotenuza} \\ AB = \sqrt{ BD \times BC}= \sqrt{ 6,4 \times 20,8}= \sqrt{\frac{64 \times 208}{100}}= \sqrt{\frac{64 \times 16 \times 13}{100}}= [/tex]
[tex]\displaystyle =\frac{8 \times 4 \times \sqrt{13}}{10}= \boxed{3,2\sqrt{13}~dm} \\ \\ AC= \sqrt{ CD \times BC}= \sqrt{ 14,4 \times 20,8}= \sqrt{\frac{144 \times 208}{100}}= \\ \\ \sqrt{\frac{144 \times 16 \times 13}{100}}=\frac{12 \times 4 \times \sqrt{13}}{10}=\boxed{4,8\sqrt{13}~dm} \\ \\ \text{Calculam inaltimea AD :} \\ \\ AD = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3,2\sqrt{13} \times 4,8\sqrt{13}}{20,8} = \frac{3,2 \times 4,8 \times 13}{20,8}= [/tex]
[tex]\displaystyle \\ = \frac{3,2 \times 3 \times 1,6 \times 13}{20,8}=\frac{3,2 \times 3 \times 20,8}{20,8}=3,2 \times 3 = \boxed{\boxed{9,6 ~dm }}[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!