a)
MP⊥(ABC)
Aplicam teorema celor trei perpendiculare:
In planul (ABC), AB⊥AC si MP⊥(ABC), Atunci MP este perpendiculara pe orice dreapta din (ABC) care
trece prin P. Deci MP⊥AC
Revenim si scriem:
AC⊥AB
MP⊥AC
Atunci, conform teoremei celor trei perpendiculare:
MA⊥AB
Atunci, conform definitiei distantei de la un punct la o dreapta( distanta de
la un punct la o dreapta se masoara pe perpendculara dusa din acel punct la
dreapta),
d(m;AB)=MA
Sa determinam acum pe MA
Stim ca AP=AC/2=4/2=2cm
Stim ca MP=2cm
De asemenea , stim si ca ΔMPA=dreptunghic in P.
Atunci, putem afla masura lui MA prin teorema lui Pitagora:
MA²=MP²+AP²
MA²=2²+2²=2×2²
Atunci:
MA=2√2cm
d(M;AB)=2√2cm
b)
d(M;BC)
Incercam sa ne situam, din nou, in conditiile aplicarii teoremei celor trei
perpendiculare. Adica, sa existe in plan doua drepte perpendiculare si, in
afara planului, o dreapta perpendiculara pe una dintre cele doua drepte
perpendiculare din plan.
Pentru aceasta construim PN⊥BC cu N∈(BC)
Fiindca MP⊥(ABC), ca si in cazul anterior, MP⊥PN
Deci
PN⊥BC
MP⊥PN
Rezulta ca, conform teoremei celor trei perpendiculare:
MN⊥BC
Atunci
d(M;BC)=MN
Sa vedem acum cine este MN
Observam ca, ΔPNC=dreptunghic in N
Stim ca ΔABC=dreptunghic in A
De asemenea ∡C este comun ambelor triunghiuri
Atunci ΔPNC asemena ΔABC
Atunci:
PC/BC=PN/AB
Atunci PN=PC×AB/BC
PC=AC/2=4/2=2cm; AB=2cm;
BC²=AB²+AC²=2²+4²=4+16=20
BC²=20=4×5=2²×5
BC=2√5
Acum:
PN=2×2/2√5=2/√5=2√5/5
PN=2√5/5cm.
In ΔMPN, dreptunghic in P, calculam pe MN, aplcand teorema lui Pitagora:
MN²=MP²+PN²=2²+(2√5/5)²=4+(4×5/25)=4+4/5=24/5
MN²=24/5=2²×6
MN=2√6cm
Atunci:
d(M;BC)=2√6cm
c)
d(C;(MBP))
Distanta ceruta, de la punctul C la planul (MBP), se masoara pe perpendiculara
dusa din punctul C la planul (MBP).
Stim ca MP⊥ABC. Dar MP∈(BMP). ⇒(ABC)⊥(BMP)
Dar C∈(ABC), iar PB este intersectia (ABC) cu (BMP) Atunci o perpendiculara
pe PB va fi perpendiculara si pe planul (BMP). Ducem aceasta perpendiculara din
C in T∈PB.
d(C;(BMP))=CT
Sa-l gasim pe CT, atunci.
Ducand CT⊥PB se formeaza ΔCTP dreptunghic in
T. Unghiurile CPT si ABP sunt opuse la varf, deci congruente. Atunci:
ΔCTP asemenea cu ΔBAP
Deci:
CP/BP=CT/AB
CT=CP×AB/BP
CP=AC/2=4/2=2cm
AB=2cm
In ΔANP, dreptunghic in A,
BP²=AB²+AP²=2²+2²=2×2²
BP=2√2
Atunci,
CT=2×2/2√2=2/√2=2√2/2=√2
CT=√2cm
d(C;(MBP))=√2cm
d)
d(A;(MBP))
Rationam simlar cu cele prezentate la punctul c)
Ducem AR⊥BP, cu R∈BP.
Distanta cautata este AR
d(A;(MBP))=AR
Observam ca:
ΔCTP asemenea cu ΔARP
Deci:
CT/AR=CP/AP
AR=CT×AP/CP
CT=√2cm
AP=2cm
CP=2cm
AR=√2×2/2=√2
d(A;BMP))=√2
