[tex]Problema~necesita~determinarea~ultimelor~4~cifre~posibile~ale~lui \\ \\ 2015^k~(k \in N^*).~Pentru~a~le~determina~procedam~ca~in~imaginea~de~ \\ \\ mai~jos.~ \\ \\ Acestea~sunt:~2015,~0225,~3375,~(0625,~9375),~(0625,~9375), \\ \\ (0625,~9375)...~(si~se~repeta,~desigur,~deoarece~se~inmulteste~de \\ \\ fiecare~data~cu~acelasi~numar:~2015). \\ \\ Ce~observam?~Pentru~k \geq 4~ultimele~4~cifre~sunt~0625~daca~k~este~ \\ \\ par ~si~9375~daca~k~este~impar.[/tex]
[tex]Notatie:~U_4(x)=ultimele~4~cifre~ale~lui~x. \\ \\ Vom~analiza~separat~cazurile~n \in \{1,2,3 \}: \\ \\ n=1 -solutie~(numerele~sunt~chiar~egale) \\ \\ n=2 \Rightarrow U_4(2015^4)=0625~si~U_4(2015^2)=0225,~deci~n=2~nu~este~ \\ \\ solutie. \\ \\ n=3 \Rightarrow U_4(2015^9)=6375~si~U_4(2015^3)=3375,~deci~n=3~nu~este \\ \\ solutie. [/tex]
[tex]Este~evident~ca~numerele~x~si~x^2~(x \in N)~au~aceeasi~paritate. \\ \\ Pentru~n \geq 4,~avem~ca~n~si~n^2~au~aceeasi~paritate~si~n^2 \ \textgreater \ 4. \\ \\ Deci~orice~numar~natural~n \geq 4~este~solutie. [/tex]
[tex]Solutie:~n \in N- \{2,3\}.[/tex]
