👤
TRIXXIE18EZ
a fost răspuns

Pe R se defineste legea de compozitie
X*y=xy-5(x+y)+30
A) sa se determine elementul neutru al legii de compozitie
B) sa se determine simetricul legii lui 2 in raport cu *
C) sa se verifice ca * este asociativa
D) sa se rezolve ecuatia x+y=x,x€R

Răspuns :

A) Trebuie sa determinam elementul neutru e din relatia: x * e = e * x = x.
x * e = x e - 5 (x + e) + 30
e * x = e x - 5 (e + x) + 30
x * e = x, x e - 5 (x + e) + 30 = x, x e - 5x - 5e + 30 = x,
x (e - 5) - 5 (e - 6) = x, deci e = 6 element neutru.

B) Simetricul lui 2 in raport cu *. Vrem sa verificam relatia x * 2 = 2 * x = e.
x * 2 = x 2 - 5 (x + 2) + 30 = 2x - 5 (2 + x) + 30 = 6.
2x - 5 (2 + x) + 30 = 2x - 10 - 5x + 30 = -3x + 20 = 6, -3x = 6 - 20, -3x = -14,
x = 14 / 3.
Simetricul lui 2 in raport cu legea * este s = 14 / 3.

C) Deoarece legea admite element neutru e = 6 si element simetrizabil
s = 14 / 3, verificam daca relatia: (x * y) * z = x * (y * z) este satisfacuta.
(x * y) * z = (xy - 5 (x + y) + 30) * z (1)
Notam xy - 5 (x + y) + 30 = t. Relatia (1) devine:
t * z = tz - 5 (t + z) + 30 = [xy - 5 (x + y) + 30] z - 5 [xy - 5 (x + y) + 30 + z] + 30
= xyz - 5xz - 5yz + 30z - 5xy + 25x + 25y - 150 - 5z + 30 =
= xyz - 5xz - 5yz - 5xy + 25x + 25y + 25z - 120.

x * (y * z) = x * (yz - 5 (y + z) + 30) (2)
Notam y * z = yz - 5 (y + z) + 30 = u. Relatia (2) devine:
x * u = xu - 5 (x + u) + 30 = x [yz - 5 (y + z) + 30] - 5 [x + yz - 5 (y + z) + 30] +
30 = xyz - 5xy - 5xz + 30x - 5x - 5yz + 25y + 25z - 150 + 30 =
= xyz - 5xz - 5yz - 5xy + 25x + 25y + 25z - 120.
Deci legea * este asociativa.

D) x * y = x, dar la punctul A) x * e = x, deci y = e = 6. Deoarece y = 6, rezulta
ca x este un nr. real x = α, α ∈ R.
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari