Pentru √2 nu e numar rational: presupunem ca este rational adica se poate scrie ca o fractie ce nu se mai poate simplifica [tex] \frac{p}{q} [/tex], unde p si q∈Z, fara sa aiba divizor comun, deci presupunem [tex] \sqrt{2}= \frac{p}{q},ridicam.la.patrat [/tex], obtinem:
[tex]2= \frac{p^2}{q^2}.sau.2q^2=p^2 [/tex], cum membrul stang e un produs cu 2 deci e numar par⇒si p trebuie sa fie par (daca ar fi impar inmultit cu el insusi ⇒ tot numar impar) deci p=2k, k∈Z, atunci ultima egalitate devine: [tex]2q^2=(2k)^2,sau.2q^2=4k^2,[/tex]
simplificam cu 2 ⇒[tex]q^2=2p^2[/tex], repetam rationamentul si ⇒q=2n, n∈Z, adica q este par , atunci fractia: [tex] \frac{p}{q}= \frac{2k}{2n} [/tex], deci se poate simplifica, contrar presupuneri ca p si q nu au divizori comuni ,deci nu putem avea √2=[tex] \frac{p}{q} [/tex], adica nu e numar rational.
