Avem BC = a, AJ
= h
Notam MN = y,
QM = x
In figura de
mai sus avem PQ || BC => ΔAPQ ˜ ΔABC => PQ / BC = AQ / AB
Dar AI si AJ
sunt inaltimi in cele doua triunghiuri; inseamna ca si raportul dintre ele este
egal cu raportul de asemanare dintre cele doua triunghiuri, adica
PQ/BC=AI/AJ
adica y/a=h-x/h =>y=a(h-x)/h
Notam cu S -
aria triunghiului ABC si cu Sdreptunghi -
aria dreptunghiului MNPQ.
Avem
S(dreptunhi)=QM*MN=y*x=x*a(h-x)/h=a/h*[h²/4-(x-h/2)²]⩽
a/h*h²/4=a*h/4=S
Maximul ariei
se obtine atunci cand x = h/2, adica atunci cand PQ este linie mijlocie in
triunghi. mijlocie in triunghi.
