Răspuns :
[tex]Sn=5+55+555+\hdots + 55 \hdots 5 \\ \texttt{Sirul are n termeni, iar ultimul termen are n cifre. } \\ \texttt{Vom face transformari astfel incat in loc de } \\ \texttt{cifra 5 sa avem cifra 9 } \\ \\ 5+55+555+\hdots + 55 \hdots 5 = \\ = 5(1+11+111+\hdots + 11 \hdots 1) = \\ \\ =5\times \frac{9}{9} \times (1+11+111+\hdots + 11 \hdots 1) = \\ \\ = \frac{5}{9} (9+99+999+\hdots + 99 \hdots 9) = ~\text{Acum adunam 1 la fiecare termen.}[/tex]
[tex]=\frac{5}{9} (9+99+999+\hdots + 99 \hdots 9 + n - n) = \\ \\ =\frac{5}{9} (9+1+99+1+999+1+\hdots + 99 \hdots 9+1 - n) = \\ \\ =\frac{5}{9} (10+100+1000+\hdots + 10 \hdots 0 - n) = \\ \\ \texttt{Avem n termeni din care ultimul are 1 urmat de n zerouri.} \\ \texttt{Ptimul termen are 2 cifre si termenul n are n+1 cifre.} \\ \\ = \frac{5}{9}(111111....de ~n ~ori ....110 -n) = \displaystyle \\ \\ \texttt{Nr. are n de 1 si un zero.} \\ \\ = \frac{5((111111....de ~n ~ori ....110 -n) )}{9} =[/tex]
[tex]\displaystyle \\ = \boxed{\frac{555555....de ~n ~ori ....550 -5n}{9} } \\ \\ \texttt{La numarator avem un numar format din n de 5 urmat de 0,} \\ \texttt{din care se scade 5n, iar la numitor este 9.}[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!