Explicatie pas cu pas:
Pentru a determina ecuatia unei dreptei cand stim coordonatele a doua puncte de pe aceasta avem mai multe posibilitati.
Metoda 1 (cu determinant):
[tex]AB: \left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x&y&1\end{array}\right|=0 \\AB: \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&1\\x&y&1\end{array}\right| =0\\AB:3+2y+2x-3x-y-4=0\\AB: -x+y-1=0 |:(-1)\\AB: x-y+1=0[/tex]
Metoda 2 (cu formula de determinare a ecuatiei dreptei cand stim coordonatele a doua puncte):
[tex]AB: \frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\\AB: \frac{x-1}{2-1}=\frac{y-2}{3-2}\\AB: x-1=y-2\\AB: x-y-1+2=0\\AB:x-y+1=0[/tex]
Metoda 3 (gasind vectorul director al dreptei AB si punand conditia ca A sau B sa apartina dreptei):
Vectorul director este:
[tex]\vec{AB}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}=\vec{i}+\vec{j}[/tex]
Coordonatele vectorului director sunt:
[tex]\vec{AB}=(1,1)[/tex]
Ecuatia dreptei va fi:
[tex]AB: \frac{x-x_A}{x_{\vec{AB}}}=\frac{y-y_A}{y_{\vec{AB}}}\\AB: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}\\AB: x-y+1=0[/tex]
Sau:
[tex]AB: \frac{x-x_B}{x_{\vec{AB}}}=\frac{y-y_B}{y_{\vec{AB}}}\\AB: \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}\\AB: x-y+1=0[/tex]
Acum stim ca dreapta AB este de ecuatie [tex] AB: x-y+1=0[/tex]
.
Cautam ecuatia dreptei d, care trece prin A si este perpendiculara pe AB.
Metoda 1:
Determinam panta dreptei [tex] AB [/tex], pe care o notam [tex] m_{AB} [/tex]. Aducem ecuatia acestei drepte la forma ei explicita.
[tex] AB: x-y+1=0\\AB: y=x+1 [/tex]
Panta dreptei [tex] AB [/tex] este [tex] m_{AB}=1 [/tex] deoarece coeficientul lui x din ecuatia explicita a acestei drepte este 1.
Stim ca [tex] AB_|_d [/tex]. Asadar, [tex] m_{AB}*m_{d}=-1\\m_d=-1 [/tex].
Scriem ecuatia dreptei [tex] d [/tex] folosind formula de determinare a ecuatiei dreptei cand cunoastem panta si un punct de pe aceasta.
[tex] d: y-y_A=m_{d}(x-x_A)\\d: y-2=-(x-1)\\d: y-2=-x+1\\d: y=-x+3[/tex].
Metoda 2:
Aducem ecuatia dreptei AB la forma ei explicita.
[tex] AB: x-y+1=0\\AB: y=x+1 [/tex]
Dreptele fiind perpendiculare, au produsul pantelor egal cu -1. Asadar, daca panta dreptei [tex] AB [/tex] este 1, atunci panta dreptei [tex] d [/tex] este -1 si scriem ecuatia acesteia in forma explicita:
[tex] d: y=mx+n\\d: y=-x+n [/tex].
Cum punctul A(1,2) se afla pe dreapta, avem ca:
[tex] y_A=-x_A+n\\2=-1+n\\n=3 [/tex].
Stiind si n, acum putem finaliza exercitiul:
[tex] d: y=-x+3[/tex].
