👤
a fost răspuns

Saluut! Cum demostrez asta ? :
[tex](a1 + a2+ ...+an) ^{2} \leq n*(a1) ^{2} + n*(a2 )^{2} + n*(a3) ^{2} +...+ n*(an) ^{2}
[/tex]
Specific ca aceia sunt indici !

Răspuns :

C04FEZ
Din exemplul pentru 3 termani, se observa pentru cazul general fara inductie completa. [tex] (a_{1}+ a_{2}+ a_{3})^2 \leq 3 a_{1}^2+3 a_{2}^2+ 3a_{3}^2 [/tex], demonstram folosind echivalenta, presupunem adevarata relatia, ea este echivalenta cu :[tex] a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2+2( a_{1} a_{2}+ a_{1} a_{3}+ a_{2} a_{3}) \leq 3 a_{1}^2+ 3a_{2}^2+ 3 a_{3}^2 [/tex], trecem totul in dreapta si facem reducerile, ⇔ [tex]0 \leq 2 a_{1}^2+2a _{2}^2+ 2a_{3}^2-2 a_{1} a_{2}-2 a_{1} a_{2}-2 a_{2} a_{3} [/tex], echivalent cu: 0[tex] \leq ( a_{1}- a_{2})^2 +( a_{1}- a_{3})^2 +( a_{2}- a_{3})^2 [/tex], evident adevarata ca suma de patrate, deci este ≥0, ceea ce inseamna ca presupunerea este adevarata. Procedand analog cu relatia data se obtine: [tex]0 \leq (a_{1}- a_{2})^2+ (a_{1}- a_{3})^2+...+( a_{1}- a_{n})^2+ (a_{2}- a_{3})^2+...+ [/tex][tex]( a_{2}- a_{n})^2+...+ (a_{n-1}- a_{n})^2,adevarata. [/tex]
ALBASTRUVERDE12EZ
[tex]Nu~este~nevoie,~iata: \\ \\ Imparti~relatia~la~n^2~si~obtii: \\ \\ \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{n^2} \leq \frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n} . \\ \\ Termenii~fiind~ \geq 0,~ultima~relatie~este~echivalenta~cu: \\ \\ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \leq \sqrt{ \frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n} },~care~este~adevarata~conform \\ \\ inegalitatii~mediilor~(membrul~stang~este~media~aritmetica, \\ \\ iar~membrul~drept~este~media~patratica). [/tex]

[tex]Sau,~in~fine,~inegalitatea~ta~este~de~fapt~un~caz \\ \\ particular~al~inegalitatii~Cauchy-Buniakovski-Schwartz. \\ \\ (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(1^2+1^2+...+1^2) \geq (a_1 \cdot 1+a_2 \cdot 1 +...+ \\ \\ +a_n \cdot 1).[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari