Funcția f(x) = (x+1)! nu poate fi derivată deoarece nu este continuă.
Dar din fericire există o funcție care este continuă și care are exact aceleași valori ca (x-1)! pentru x ∈ ℕ.
Având aceleași valori ca factorialul înseamnă că cele două funcții sunt echivalente.
Această funcție se numește funcția Gamma.
[tex]\displaystyle \Gamma(n) = (n-1)! \Rightarrow \Gamma(x+2) = (x+1)!\\ \\\\\Gamma(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{-t}\,t^{x-1}\, dt \\ \\ \dfrac{d}{dx}\Gamma(x) = \dfrac{d}{dx}\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\,t^{x-1}\, dt \\ \\\\ \text{Folosind regula lui Leibniz:}\\ \\ \\ \dfrac{d}{dx}\Gamma(x) = \int_{0}^{+\infty}\dfrac{d}{dx}\Big(e^{-t}\,t^{x-1}\Big)\, dt\\ \\ \dfrac{d}{dx}\Gamma(x) = \int_{0}^{+\infty}e^{-t}\,(x-1)'\, t^{x-1}\ln t\, dt \\ \\ \Gamma'(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{-t}\, t^{x-1}\ln t\, dt[/tex]
[tex]\Rightarrow \displaystyle \Gamma'(x+2) = \boxed{\int_{0}^{+\infty} e^{-t}\, t^{x+1}\ln t\, dt}[/tex]
