Trebuie puse niste conditii initiale p,q,r,s, ∈N*, p<q si r.<s, in caz contrar, fractiile ar fi supraunitare si egalitatea nu ar fi posibila.
pentru cazul cand q=s se observa usor , egalitatea
Presupun q=/=s
In egaliatea data trecem fractia(p/q)^2 in dreapta.Se obtine
(r/s)^2=1-p^2/q²=>r/s=√(q²-p²)/q
Avem 2 posibilitati :
- q²-r²= K² unde K∈N*, in acest caz vom avea
r/s=k/q =>s=q*r/k r/k este un numar natural, pt ca si s este numar natural.Vom nota raportul r/k==m ∈N. .ASadar s=qm .Fals ,deoarece s si q sunt nnumere prime
b)q²-r²=a²q ² =>r²=q²-a² q² unde a∈N
r=q*√(1-a²) a=0 sau 1
Pt a=0 =>r=q , contravine conditiilor initiale r<q
Pt a=1 => r==0 contravine conditiilor initiale p,q ,r s numere nenule
Demonstratia se poate extinde si pt p,q, r ,s numere intregi dar e ceva mai dificila
