Ex. 10) A(-2 , 2) ; B(4 , 1) ; C(1 , 3). Vrem sa determinam punctul
D(x , y) in urmatoarele cazuri:
a) AB = CD
Fie D(x , y) unde x , y ∈ R.
Atunci AB = CD ⇔ (6 , -1) = (x - 1 , y - 3) ⇔ 6 = x - 1 , -1 = y - 3 ⇔ x = 7 , y = 2
AB = (4 - (-2) , 1 - 2) = (6 , -1);
CD = (x - 1 , y - 3).
Deci D(7 , 2).
Am folosit scrierea unui vector in functie de punctele date.
Daca A(x₁ , y₁) si B(x₂ , y₂), atunci vectorul AB are expresia:
AB = (x₂ - x₁ , y₂ - y₁).
b) D este centrul de greutate al ΔABC.
Daca D este centrul de greutate al ΔABC, atunci el are coordonatele:
D( (-2 + 4 + 1) : 3 , (2 + 1 + 3) : 3 ) = D(1 , 2).
Daca A(x₁ , y₁) ; B(x₂ , y₂) ; C(x₃ , y₃), atunci coordonatele centrului
de greutate al ΔABC sunt:
D( (x₁ + x₂ + x₃) : 3 , (y₁ + y₂ + y₃) : 3) ).
c) 2 AC = BD ⇔ 2 · (3 , 1) = (x - 4 , y - 1) ⇔ (6 , 2) = (x - 4 , y - 1)
⇔ 6 = x - 4 , 2 = y - 1 ⇔ x = 10 , y = 3. Deci D(10 , 3).
AC = ( 1 - (-2) , 3 - 2 ) = (3 , 1);
BD = (x - 4 , y - 1).
Am folosit descompunerea unui vector in functie de coordonatele punctelor
si produsul unui vector cu un scalar (inmultirea unui vector cu un scalar):
daca α ∈ R (scalar) si v = (v₁ , v₂) (vector), atunci:
α · v = (α v₁ , α v₂).
d) [AB] si [CD] au acelasi mijloc.
Fie S(a₁ , b₁) mijlocul segmentelor [AB] si [CD].
Atunci S(a₁ , b₁) = S( (-2 + 4) : 2 , (2 + 1) : 2 ) = S(1 , 3 / 2) (coordonatele
mijlocului segmentului [AB]).
Dar S(1 , 3 / 2) = S( (x + 1) : 2 , (y + 3) : 2) (coordonatele mijlocului
segmentului [CD]).
Din relatia de mai sus, rezulta:
1 = (x + 1) : 2 ⇔ x = 1
3 / 2 = (y + 3) : 2 ⇔ y = 0.
Deci D(1 , 0).
Am folosit faptul ca daca A(x₁ , y₁) si B(x₂ , y₂) atunci coordonatele
mijlocului segmentului [AB] sunt:
S( (x₁ + x₂) : 2 , (y₁ + y₂) : 2 ).
e) OA + OB = OC + OD
O este originea sistemului deci are coordonatele O(0 , 0).
Deci OA = (-2 - 0 , 2 - 0) = (-2 , 2);
OB = (4 - 0 , 1 - 0) = (4 , 1);
OC = (1 - 0 , 3 - 0) = (1 , 3);
OD = (x - 0 , y - 0) = (x , y).
Din relatia de mai sus rezulta:
(-2 , 2) + (4 , 1) = (1 , 3) + (x , y) ⇔ (2 , 3) = (1 + x , 3 + y) ⇔
2 = 1 + x , 3 = 3 + y ⇔ x = 1 , y = 0.
Deci D(1 , 0).
Am folosit faptul ca daca v = (v₁ , v₂) si u = (u₁ , u₂) , atunci:
v + u = (v₁ , v₂ ) + (u₁ , u₂) = (v₁ + u₁ , v₂ + u₂) (adunarea vectorilor).
f) D este simetricul lui A fata de C.
Daca D este simetricul lui A fata de C, atunci inseamna ca A este
mijlocul segmentului [DC]. Deci:
(-2 , 2) = ( (x + 1) : 2 , (y + 3) : 2 ).
Deci x = -5 , y = 1 si D(-5 , 1).
Ex. 11) A(1 , 2) ; B(2 , 1) ; C(-1 , -2). Vrem sa determinam punctul D(x , y)
in urmatoarele cazuri:
a) AB = DC.
La fel ca la ex. precedent, avem:
AB = (2 - 1 , 1 - 2) = (1 , -1);
DC = (-1 - x , -2 - y).
Deci AB = DC ⇔ (1 , -1) = (-1 - x , -2 - y) ⇔ x = -2 , y = -1.
Deci D(-2 , -1).
b) D este centrul de greutate al ΔABC.
Ca la ex. precedent avem:
D( [1 + 2 + (-1)] : 3 , [2 + 1 + (-2)] : 3) = D(2 / 3 , 1 / 3).
c) 2 DC = AB
DC = (-1 - x , -2 - y);
AB = (1 , -1).
2 · (-1 - x , -2 - y) = (1 , -1) ⇔ (-2 - 2x , -4 - 2y) = (1 , -1) ⇔ x = -3 / 2 , y = -3 / 2.
Deci D(-3 / 2 , -3 / 2).
d) [AC] si [BD] au acelasi mijloc.
Mijlocul lui [AC] este:
S( [1 + (-1)] : 2 , [2 + (-2)] : 2) = S(0 , 0) = O.
Mijlocul lui BD este:
S( (x + 2) : 2 , (y + 1) : 2) = S(0 , 0) ⇔ x = -2 , y = -1.
Deci D(-2 , -1).
e) A, B, C si D sunt varfurile unui paralelogram.
Vom folosi in acest caz cateva elemente de geometrie a paralelogramului.
Paralelogramul este figura geometrica care are 2 cate 2 laturi
paralele si congruente.
Daca ABCD este paralelogram atunci:
1) AB ║ CD
2) [AB] ≡ [CD]
Pentru a determina coordonatele punctului D aplicam una din
proprietatile paralelogramului referitoare la diagonale si avem:
daca {O} = [AC] ∩ [BD] este punctul de intersectie a diagonalelor,
atunci [OA] ≡ [OC] si [OB] ≡ [OD]. Asta inseamna ca O este
mijlocul segmentelor [AC] si [BD], iar conform punctului precedent (pct. d))
coordonatele punctului D sunt: D(-2 , -1).
f) D este mijlocul lui [AC].
Deci D( [1 + (-1)] : 2 , [2 + (-2)] : 2 ) = D(0 , 0) = O.
