👤
ANTOMARIEEZ
a fost răspuns

Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia [tex] lg^{2} x^{2} + 3lg \frac{1}{x} = 1[/tex]

Răspuns :

CRISTINATIBULCAEZ
x>0
(lgx²)²+3lgx⁻¹=1
(2lgx²)²-3lgx=1
4lgx²-3lgx-1=0
lgx=t
4t²-3t-1=0
t1=1, lgx=1, x=10
t2=-1/2, lgx=-1/2 imposibil
[tex]\it \lg^2x^2+3\lg\dfrac{1}{x} =1 [/tex]

 Condiția de existență a ecuației este x > 0

  Ecuația se mai poate scrie:

[tex]\it (\lg x^2)^2 +3\lg x^{-1} -1 = 0 \Rightarrow (2\lg x)^2+3\cdot(-1) \lg x -1 =0[/tex]

[tex]\Rightarrow \it 4\lg^2 x -3 \lg x -1 = 0[/tex]


Notăm  lg x = t  și ecuația devine:

[tex]\it 4t^2 - 3t -1 = 0[/tex]

Intuim că t = 1 este o soluție.

Descompunem în factori partea dreaptă a ecuației :

[tex]\it 4t^2-3t-1 = 0 \Leftrightarrow 4t^2-4t+t-1 = 0 \Leftrightarrow \\\;\\ \Leftrightarrow \it 4t(t-1)+(t-1) = 0 \Leftrightarrow (t-1)(4t+1) = 0[/tex]

[tex]\it 4t+1 = 0 \Longrightarrow t =-\dfrac{1}{4}[/tex]

[tex]\it t-1 = 0 \Longrightarrow t = 1[/tex]

Revenim asupra notației și obținem:

[tex]\it \lg x =-\dfrac{1}{4} \Longrightarrow x = 10^{-\dfrac{1}{4}}[/tex]

[tex]\it \lg x = 1 \Longrightarrow x =10[/tex]




Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari