👤
ANDREUTZAKRISSEZ
a fost răspuns

Triunghiul dreptunghic ABC, m(∡A)=90°, are m(∡B)=60° si inaltimea=a√3 (a>0). Calculati:
a)aria si perimetrul triungiului;
b)raportul [tex] \dfrac{ A_{DEC} }{ A_{BAC} } [/tex], daca DE⊥AC, E∈(AC)

Răspuns :

Trebuie sa completăm toate unghiurile formate și să observăm că 

triunghiurile CBA, ABD, CAD sunt de forma (30, 60 90).

Cu teorema unghiului de 30°,  urmată de teorema lui Pitagora, noi vom determina lungimile laturilor:

BD=a, AB = 2a, BC = 4a, CD =3a, AC = 2a√3, DE =3a/2

(Observație:

Interiorizarea modelului Δ dr. cu ∡ de 30 ° fluidizează spectaculos rezolvarea.)

[tex]\it \mathcal{A_{ABC}} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} =\dfrac{2a\cdot 2a\sqrt3}{2} =2a^2\sqrt3\ cm^2[/tex]

[tex]\it \mathcal{A}_{EDC} = \dfrac{ED \cdot DC\cdot\ sin 60^0}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3a}{2} \cdot3a \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{9a^2\sqrt3}{8}[/tex]

[tex]\it \mathcal{P}_{ABC} = AB+BC+AC =2a+4a+2a\sqrt3=6a+2a\sqrt3.[/tex]


[tex]\dfrac{\mathcal{A}_{EDC}}{\mathcal{A}_{BAC}} = \it\dfrac{9a^2\sqrt3}{8}\cdot\dfrac{1}{2a^2\sqrt3} =\dfrac{9}{16}[/tex]


ALBASTRUVERDE12EZ
[tex]a)~Notam~AB=x. \\ \\ Atunci~BC=2x~(deoarece~AB~se~opune~unghiului~de~30 \textdegree), \\ \\ iar~AC= \sqrt{BC^2-AB^2}= \sqrt{4x^2-x^2}=x \sqrt{3}. \\ \\ Fie~M~mijlocul~lui~[BC] \Rightarrow AM= \frac{BC}{2}=BM. \\ \\ Din~AM=BM~si~m( \angle B)=60 \textdegree~rezulta~ca~ \Delta ABM~este \\ \\ echilateral. \\ \\ [/tex]

[tex]AD \perp BM \Rightarrow AD-mediana~in~ \Delta~ABM \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow BD=DM= \frac{BM}{2}= \frac{x}{2}. \\ \\ Nu~stiu~daca~cunosti~urmatorul~rezultat:~"Lungimea~ \\ \\ inaltimii~unui~triunghi~echilateral~de~latura~l~este ~\frac{l \sqrt{3}}{2}." ,~asa \\ \\ ca~voi~aplica~T.Pitagora~in~\Delta ABD~pentru~a-l~afla~pe~x. \\ \\ BD^2+AD^2=AB^2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{4}+3a^2=x^2 \Rightarrow \boxed{x=2a}~(se~putea \\ \\ calcula~si~astfel:~AB=\frac{AD}{sinB}).[/tex]

[tex]Deci~AB=2a~;~AC=2a \sqrt{3}~si~BC=4a. \\ \\ P_{ABC}=2a+2a \sqrt{3}+4a=2a(3+ \sqrt{3}). \\ \\ A_{ABC}= \frac{AB \cdot AC}{2}= \frac{2a \cdot 2a \sqrt{3}}{2}=2a^2 \sqrt{3}.[/tex]

[tex]b)~m( \angle BAC)= m( \angle DEC)=90 \textdegree~si~m(\angle BCA)= m( \angle DCE)\\ \\ (unghi~comun) \Rightarrow \Delta BAC \sim \Delta DEC. \\ \\ "Raportul~ariilor~a~doua~triunghiuri~asemenea~este~egal~cu \\ \\ patratul~raportului~de~asemanare." \\ \\Deci~ \frac{A_{DEC}}{A_{BAC}}= \Big(\frac{DC}{BC} \Big)^2= \Big( \frac{DM+MC}{BC} \Big)^2 = \Big( \frac{ \frac{x}{2}+x }{2x} \Big)^2= \frac{9}{16}. [/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari