27) Desenăm triunghiul ABC, dreptunghic în A și considerăm AC>AB.
Notăm (convențional) a, b, c, lungimile laturilor triunghiului.
Stim că a =25.
Cu T. Pitagora scriem:
b² + c² = a² ⇒ b² + c² = 25² ⇒b² + c² = 625 (1)
Știm aria, deci :
(bc)/2 =150 ⇒ bc=300 |·2 ⇒ 2bc = 600 (2)
Relația (1) se mai scrie:
(b+c)² - 2bc = 625
Înlocuim, mai sus, 2bc =600 și vom avea:
(b+c)² - 600 =625 ⇒(b+c)² = 625 + 600 ⇒(b+c)² = 1225 ⇒
⇒(b+c)² = 35² ⇒ b+c = 35 (3)
Relația (1) se mai scrie:
(b-c)² +2bc = 625
Înlocuim, mai sus, 2bc =600 și vom avea:
(b-c)² +600 =625 ⇒(b-c)² = 625 - 600 ⇒(b - c)² =25 ⇒
⇒(b - c)² = 5² ⇒ b - c = 5 (4)
Din relațiile (3), (4) ⇒b = 20, c = 15
...................................................................
28) Dacă reușim să aflăm lungimile celor trei laturi, atunci se pot calcula rapid aria și perimetrul triunghiului.
Știm că AB = 6√5
tg B = 1/2
Dar, tgB = AC/AB = AC/6√5
Din ultimele două relații, vom avea:
AC/6√5 =1/2 ⇒ AC = 6√5/2 ⇒ AC= 3√5 cm.
Acum știm lungimile catetelor și aflăm ipotenuza cu T. Pitagora, adică:
BC² = (6√5) ² + (3√5) ² =36·5 + 9 ·5 = 225 =15² ⇒ BC = 15 cm
Aria = AB·AC/2 =6√5 · 3√5/2 =18·5/2 =9·5 = 45 cm²
Perimetrul = AB + AC + BC = 6√5 + 3√5 + 15 = 9√5 +15 cm =3(3√5 +5) cm.
