Răspuns :
Pentru ca fracţia să fie un număr natural, atunci produsul numerelor de la 1 la 40 (de la numărător) trebuie sa se dividă
şi la 2 la puterea x,
şi la 3 la puterea y,
si la 7 la puterea z.
Numerele de la 1 la 40 care se divid la 7 sunt următorii multipli ai lui 7 mai mici de 40:
7·1=7, 7·2=14, 7·3=21, 7·4=28, 7·5=35 (observam ca deja 7·6 = 42 > 40)
iar produsul numerelor mai mici de 40 (factorilor de la numărător) care se divid la 7 este
7·14·21·28·35 = 7·1·7·2·7·3·7·4·7·5 = 7·7·7·7·7·(1·2·3·4·5) = [tex] 7^{5} [/tex]·1·2·3·4·5
rezultă că z=5
Numerele de la 1 la 40 care se divid la 3 sunt următorii multipli ai lui 3 mai mici de 40:
3·1=3, 3·2=6, 3·3=9, 3·4=12, 3·5=15, 3·6=18, 3·7=21, 3·8=24, 3·9=27, 3·10=30, 3·11=33, 3·12=36, 3·13=39 (observam ca deja 3·14 = 42 > 40)
Deci produsul factorilor de la numărător care se divid cu 3 este
3·6·9·12·15·18·21·24·27·30·33·36·39 =
= (3·1)·(3·2)·(3·3)·(3·4)·(3·5)·(3·6)·(3·7)·(3·8)·(3·9)·(3·10)·(3·11)·(3·12)·(3·13) =
= 3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13) =
= [tex] 3^{13} [/tex]·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13) =
[iar printre factorii de la 1 la 13, din paranteză,
se divid la 3 numerele 3, 6, 9 şi 12
(dintre care 9 = 3·3 =[tex] 3^{2} [/tex] este la rândul său o putere a lui 3)]
= [tex] 3^{13} [/tex]·[1·2·3·4·5·(3·2)·7·8·[tex] 3^{2} [/tex]·10·11·(3·4)·13] =
= [tex] 3^{13} [/tex]·3·3·[tex] 3^{2} [/tex]·3·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13) =
= [tex] 3^{13} [/tex]·[tex] 3^{5} [/tex]·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13) =
= [tex] 3^{13+5} [/tex]·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13) =
= [tex] 3^{18} [/tex]·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13)
rezultă că y=18
Factorii de la numărător care se divid la 2 sunt multipli de 2 mai mici sau egali cu 40:
2·1=2, 2·2=4, 2·3=6, 2·4=8, 2·5=10, 2·6=12, 2·7=14, 2·8=16, …, 2·16=32, …, 2·20=40
iar produsul acestor factori este
2·4·6·8·10·12·14·16·…·32·34·36·38·40 =
= (2·1)·(2·2)·(2·3)·(2·4)·(2·5)·(2·6)·(2·7)·(2·8)·…·(2·16)·…·(2·19)·(2·20)=
= [tex] 2^{20} [/tex]·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·…·20)
Deci:
2·4·6·8·10·12·14·16·…·32·34·36·38·40 =
= [tex] 2^{20} [/tex]·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·…·20)
Dintre factorii de la 1 la 20 din paranteză,
se divid la 2 multipli lui 2 mai mici sau egali cu 20:
2·1=2, 2·2=4, 2·3=6, 2·4=8, 2·5=10, …, 2·10=20
Produsul celor 10 numere de la 1 la 20 care se divid la 2 este
2·4·6·8·10·12·14·16·18·20 =
= (2·1)·(2·2)·(2·3)·(2·4)·(2·5)·(2·6)·(2·7)·(2·8)·(2·9)·(2·10)=
= [tex] 2^{10} [/tex]·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10) =
Se divid la 2 următorii factori din paranteză: 2, 4, 6, 8 si 10;
iar 4=2·2, 6=2·3, 8=2·2·2, 10=2·5, rezultând
= [tex] 2^{10} [/tex]·[1·2·3·(2·2)·5·(2·3)·7·(2·2·2)·9·(2·5)] =
= [tex] 2^{10} [/tex]·2·(2·2)·2·(2·2·2)·2·(1·3·5·3·7·9·5) =
= [tex] 2^{10} [/tex]·2·[tex] 2^{2} [/tex]·2·[tex] 2^{3} [/tex]·2·(1·3·5·3·7·9·5) = [tex] 2^{10+1+2+1+3+1} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5) =
= [tex] 2^{18} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5)
Deci:
2·4·6·8·10·12·14·16·…·20 = [tex] 2^{18} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5)
Deci produsul numerelor de la 1 la 40 care se divid la 2 este
2·4·6·8·10·12·14·16·…·32·34·36·38·40 =
= [tex] 2^{20} [/tex]·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·…·20)=
= [tex] 2^{20} [/tex]·(2·4·6·8·10·…·20)·(1·3·5·7·9·11·…·19)=
= [tex] 2^{20} [/tex]·[tex] 2^{18} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5)·(1·3·5·7·9·11·…·19)=
= [tex] 2^{20+18} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5)·(1·3·5·7·9·11·…·19)=
= [tex] 2^{38} [/tex]·(1·3·5·3·7·9·5)·(1·3·5·7·9·11·…·19)
rezultă că x=38
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!