Răspuns :
[tex]\displaystyle sin~x= \frac{5}{13} ~~~~~~~~~~cos~x,~tg~x,~ctg~x,~sin~2x=? \\ \\ sin^2x+cos^2x=1 \Rightarrow cos^2x=1-sin^2x \Rightarrow cos~x=\pm \sqrt{1-sin^2x} \\ \\ x \in \left( \frac{\pi}{2} ,\pi \right) \Rightarrow cos x=- \sqrt{1-sin^2x} [/tex]
[tex]\displaystyle cos x=- \sqrt{1-sin^2x} \Rightarrow cos~x=- \sqrt{1-\left( \frac{5}{13} \right)^2} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow cos~x= -\sqrt{1- \frac{25}{169} } \Rightarrow cos~x=- \sqrt{ \frac{169-25}{169} } \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow cos~x=- \sqrt{\frac{144}{169} } \Rightarrow cos~x= -\frac{ \sqrt{144} }{ \sqrt{169} } \Rightarrow cos~x=- \frac{12}{13} [/tex]
[tex]\displaystyle tg~x=\frac{sin~x}{cos~x} \Rightarrow tg~x=\frac{ \frac{5}{13} }{ -\frac{12}{13} } \Rightarrow tg~x=\frac{5}{13}:\left(- \frac{12}{13} \right) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow tg~x=\frac{5}{13} \cdot \left(- \frac{13}{12} \right)\Rightarrow tg~x=- \frac{5}{12} \\ \\ ctg~x= \frac{cos~x}{sin~x}\Rightarrow ctg~x= \frac{- \frac{12}{13} }{ \frac{5}{13}}\Rightarrow ctg~x=-\frac{12}{13}:\frac{5}{13} \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow ctg~x=-\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} \Rightarrow ctg~x=- \frac{12}{5}[/tex]
[tex]\displaystyle sin~2x=sin(x+x)=sin~x \cdot cos~x+sin~x \cdot~cosx= \\ \\ =2sin~x \cdot cos~x=2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{10}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) =- \frac{120}{169} [/tex]
[tex]\displaystyle cos x=- \sqrt{1-sin^2x} \Rightarrow cos~x=- \sqrt{1-\left( \frac{5}{13} \right)^2} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow cos~x= -\sqrt{1- \frac{25}{169} } \Rightarrow cos~x=- \sqrt{ \frac{169-25}{169} } \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow cos~x=- \sqrt{\frac{144}{169} } \Rightarrow cos~x= -\frac{ \sqrt{144} }{ \sqrt{169} } \Rightarrow cos~x=- \frac{12}{13} [/tex]
[tex]\displaystyle tg~x=\frac{sin~x}{cos~x} \Rightarrow tg~x=\frac{ \frac{5}{13} }{ -\frac{12}{13} } \Rightarrow tg~x=\frac{5}{13}:\left(- \frac{12}{13} \right) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow tg~x=\frac{5}{13} \cdot \left(- \frac{13}{12} \right)\Rightarrow tg~x=- \frac{5}{12} \\ \\ ctg~x= \frac{cos~x}{sin~x}\Rightarrow ctg~x= \frac{- \frac{12}{13} }{ \frac{5}{13}}\Rightarrow ctg~x=-\frac{12}{13}:\frac{5}{13} \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow ctg~x=-\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} \Rightarrow ctg~x=- \frac{12}{5}[/tex]
[tex]\displaystyle sin~2x=sin(x+x)=sin~x \cdot cos~x+sin~x \cdot~cosx= \\ \\ =2sin~x \cdot cos~x=2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{10}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) =- \frac{120}{169} [/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!