Punctele A B si D sunt coliniare, atunci unghiul total din B este 180 de grade
[tex]\angle{ABD}=180[/tex] Triunghiurile echilaterale au toate unghiurile egale intre ele cu 60 de grade
[tex]\angle{CBA}=60[/tex]
[tex]\angle{EBD}=60[/tex]
Atunci putem calcula unghiul CBE
[tex]\angle{ABD}=\angle{CBA}+\angle{CBE}+\angle{EBD}\Rightarrow \angle{CBE}=\angle{ABD}-\angle{CBA}-\angle{EBD}=180-60-60=60[/tex]
b) Avem urmatoarele relatii:
[tex]\angle{EBA}=\angle{CBA}+\angle{CBE}=60+60=120[/tex]
[tex]\angle{CBD}=\angle{CBE}+\angle{EBD}=60+60=120[/tex]
Deci stim ca cele doua unghiuri sunt egale
[tex]\angle{EBA}=\angle{CBD}[/tex]
Laturile din cele doua triunghiuri care sunt alaturate acestor unghiuri sunt
pentru EBA: EB si BA
pentru CBD: CB si BD
Stim ca triunghiurile ACB si BED sunt echilaterale, asa ca stim:
BA=CB din tringhiul echilateral ACB
BE=BD din triunghiul echilateral BED
Deci vedem ca laturile sunt egale intre ele si unghiul dintre ele, atunci triunghiurile EBA si CDB sunt congruente cu un caz LUL(Latura,Unghi,Latura)
c) Am aflat ca triunghiurile EBA si CDB sunt congruente. Atunci stim ca unghiurile opuse laturilor egale sunt si ele egale. Atunci, unghiurile opuse lui CB si BA din triunghiurile CBD si EBA sunt si ele egale
[tex]\angle{CDB}=\angle{BEA}[/tex]
Acum notam intersectia dreptelor CD si AE cu M. Observam ca se formeaza triunghiul AMD. Mai observam ca
[tex]\angle{MDA}=\angle{CDB}[/tex] si [tex]\angle{MAD}=\angle{EAB}[/tex]
Atunci unghiul dintre AE si CD este unghiul format in M: AMD. Il putem calcula din triunghiul AMD
[tex]\angle{MAD}+\angle{MDA}+\angle{AMD}=180\Rightarrow \angle{AMD}=180-\angle{MAD}-\angle{MDA}=180-\angle{EAB}-\angle{CDB}=180-\angle{EAB}-\angle{BEA}[/tex]
Ne uitam in triunghiul EBA si vedem ce unghi mai are exact aceeasi masura
[tex]\angle{EAB}+\angle{BEA}+\angle{EBA}=180\Rightarrow \angle{EBA}=180-\angle{EAB}+\angle{BEA}=\angle{AMD}[/tex]
Dar am vazut mai sus cat este unghiul EAB
[tex]\angle{AMD}=\angle{EBA}=120[/tex]
