7. b) m = ?, m ∈ R a. i.
x₁ (m² - 3x₁) + x₂ (m² - 3x₂) = 0, unde x₁ si x₂ sunt solutiile ecuatiei.
x₁ m² - 3x₁² + x₂ m² - 3x₂² = 0 ⇔ m² (x₁ + x₂) - 3 (x₁² + x₂²) = 0 (1)
Dar (x₁ + x₂)² = x₁² + x₂² + 2 x₁ x₂ ⇔ x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2 x₁ x₂
Relatia (1) devine:
m² (x₁ + x₂) - 3 [(x₁ + x₂)² - 2 x₁ x₂] = 0 (2)
Folosim relatiile lui Viete pentru a exprima necunoscutele ecuatiei
noastre x₁ si x₂ in functie de coeficientii acesteia.
Reamintim ca pentru ecuatia de gradul II :
ax² + bx + c = 0, relatiile lui Viete sunt:
x₁ + x₂ = -b : a
x₁ · x₂ = c : a
unde x₁ si x₂ sunt solutiile ecuatiei date.
In cazul nostru:
x₁ + x₂ = m + 3
x₁ · x₂ = m²
Relatia (2) devine:
m² (m + 3) - 3 [(m + 3)² - 2m²] = 0
m³ + 3m² - 3 (m² - 6m + 9 - 2m²) = 0
m³ + 3m² - 3m² + 18m - 27 + 6m² = 0
m³ + 6m² + 18m - 27 = 0
De aici vezi cum rezolvi OK.
