Putem calcula aria triunghiului in doua moduri
Prima data, putem calcula aria lui AEB scazand din aria dreptunghiului ariile celorlalte triunghiuri formate
[tex]A_{ABCD}=A_{ADE}+A_{AEB}+A_{BEC}[/tex]
triunghiurile ADE si BEC sunt triunghiuri dreptunghice, deci putem calcula ariile lor drept produsul catetelor pe 2
[tex]A_{ADE}=\frac{AD*DE}{2}[/tex]
[tex]A_{BEC}=\frac{BC*CE}{2}[/tex]
Dar stim din dreptunghi faptul ca AD=BC=21 si AB=CD=28, si E este mijlocul lui DC, atunci DE=CE=14
DIn relatiile de pana acum rezulta ca
[tex]A_{ADE}=A_{BEC}[/tex]
Putem afla atunci aria lui AEB
[tex]A_{ABCD}=A_{ADE}+A_{AEB}+A_{ADE}\Rightarrow A_{AEB}=A_{ABCD}-2*A_{ADE}=AD*CD-2\frac{AD*DE}{2}=AD*CD-AD*DE=AD(CD-DE)=21(28-14)=21*14[/tex]
Aria lui AEB poate fi scrisa drept produsul laturilor si sinusului dintre ele pe 2
[tex]A_{AEB}=\frac{AE*EB*\sin{AEB}}{2}=21*14[/tex]
AE si EB sunt ipotenuzele celor doua triunghiuri dreptunghice deci le putem folosi teorema lui Pitagora
[tex]AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}[/tex]
[tex]EB^{2}=BC^{2}+CE^{2}[/tex]
Stim ca AD=BC si DE=CE din relatiile anterioare, atunci
AE=EB adica
[tex]AE*EB=AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}=21^{2}+14^{2}=441+196=637[/tex]
Inlocuim in formula de mai sus
[tex]A_{AEB}=\frac{637*\sin{AEB}}{2}=21*14\Rightarrow \sin{AEB}=\frac{21*14*2}{637}=\frac{12}{13}[/tex]
