P: y = x² - 4x + 3
d1: y = x - 3
d2: y = -2x - 12
d3: y = 2x - 6
Pentru a stabili pozitia dreptelor d1, d2, d3 fata de parabola P, rezolvam
sistemul format din ecuatia parabolei P si ecuatiile celor 3 drepte.
Cazul 1
y = x² - 4x + 3
y = x - 3
x² - 4x + 3 = x - 3 ⇔ x² - 4x + 3 - x + 3 = 0 ⇔ x² - 5x + 6 = 0
Δ = (-5)² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1 ⇒ √Δ = 1
x₁ = (5 + 1) : 2 = 6 : 2 = 3
x₂ = (5 - 1) : 2 = 4 : 2 = 2
Pentru x₁ = 3 obtinem y₁ = 0 si avem punctul A(3 , 0).
Pentru x₂ = 2 obtinem y₂ = -1 si avem punctul B(2 , -1).
In acest caz dreapta d1 este secanta fata de parabola P:
d1 ∩ P = {A, B}.
Cazul 2
y = x² - 4x + 3
y = -2x - 12
x² - 4x + 3 = -2x - 12 ⇔ x² - 4x + 3 + 2x + 12 = 0 ⇔ x² - 2x + 15 = 0
Δ = (-2)² - 4 · 1 · 15 = 4 - 60 = -56
Deoarece Δ < 0 rezulta ca ecuatia de gradul doi nu are radacini
reale.
Deci dreapta d2 nu intersecteaza parabola P in niciun punct:
d2 ∩ P = ∅.
Cazul 3
y = x² - 4x + 3
y = 2x - 6
x² - 4x + 3 = 2x - 6 ⇔ x² - 4x + 3 - 2x + 6 = 0 ⇔ x² - 6x + 9 = 0
(x - 3)² = 0 ⇒ x₁ = x₂ = 3.
Pentru x = 3 se obtine y = 0 si avem punctul A(3 , 0)
In acest caz dreapta d3 este tangenta fata de parabola P:
d3 ∩ P = {A}.
