Stim ca radical dintr-un patrat perfect produce un numar natural
[tex]\sqrt{n^{2}}=n[/tex]
Urmatorul numar intreg este obtinut din radicalul urmatorului patrat perfect
[tex]\sqrt{n^{2}+2n+1}=\sqrt{(n+1)^{2}}=n+1[/tex] Atunci inseamna ca orice numar din sir notat generic [tex]\sqrt{n^{2}+k}[/tex] unde k apartine lui 1...n vor avea valori intre aceste doua numere
[tex]\sqrt{n^{2}}<\sqrt{n^{2}+k}<\sqrt{n^{2}+2n+1}=\sqrt{(n+1)^{2}}[/tex]
Facem acum partea intreaga a numerelor
[tex][\sqrt{n^{2}}]=n<=[\sqrt{n^{2}+k}]<[\sqrt{(n+1)^{2}}]=n+1[/tex]
Deci partea intreaga este mai mica decat n+1, dar totusi mai mare decat n in valoare absoluta(cu zecimale), deci este egala cu n din punct de vedere al intregului
Atunci avem n numere adunate fiecare avand aceeasi parte intreaga n
[tex][\sqrt{n^{2}+1}]+[\sqrt{n^{2}+2}]+..+[\sqrt{n^{2}+n}]=n+n+..+n=n*n=n^{2}[/tex]
