Răspuns :
Putem face urmatoarea observatie
[tex]n^{2}>n*(n-1)\Rightarrow \frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n(n-1)}[/tex] pentru n>1
Dar mai stim ca
[tex]\frac{1}{n(n-1)}=\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=\frac{n}{n(n-1)}-\frac{n-1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}[/tex]
Inlocuim acum in relatia de mai sus
[tex]\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}[/tex]
Si acum scriem aceasta relatie de la n-2 pana la 2
[tex]\frac{1}{(n-1)^{2}}<\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}[/tex]
[tex]\frac{1}{(n-2)^{2}}<\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-2}[/tex]
........................................................................................
[tex]\frac{1}{(4)^{2}}<\frac{1}{3}-\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\frac{1}{(3)^{2}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}[/tex]
[tex]\frac{1}{(2)^{2}}<1-\frac{1}{2}[/tex]
Si acum adunam toate aceste relatii si notam cu S
[tex]S=\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n-1)^{2}}+\frac{1}{(n-2)^{2}}+...+\frac{1}{(4)^{2}}+\frac{1}{(2)^{2}}+\frac{1}{(2)^{2}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{n}[/tex] adica este mai mica decat 1, dar mai mare decat 0 pentru orice n>1. Deci S este de ex 0.001, poate fi, care are partea intreaga 0
Atunci partea intreaga a acelei sume este
[tex][S]=0[/tex] si observi ca pentru a obtine numarul din expresie mai trebuie sa adunam 1, deci partea intreaga a numarului este 1.
[tex]n^{2}>n*(n-1)\Rightarrow \frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n(n-1)}[/tex] pentru n>1
Dar mai stim ca
[tex]\frac{1}{n(n-1)}=\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=\frac{n}{n(n-1)}-\frac{n-1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}[/tex]
Inlocuim acum in relatia de mai sus
[tex]\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}[/tex]
Si acum scriem aceasta relatie de la n-2 pana la 2
[tex]\frac{1}{(n-1)^{2}}<\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}[/tex]
[tex]\frac{1}{(n-2)^{2}}<\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-2}[/tex]
........................................................................................
[tex]\frac{1}{(4)^{2}}<\frac{1}{3}-\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\frac{1}{(3)^{2}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}[/tex]
[tex]\frac{1}{(2)^{2}}<1-\frac{1}{2}[/tex]
Si acum adunam toate aceste relatii si notam cu S
[tex]S=\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n-1)^{2}}+\frac{1}{(n-2)^{2}}+...+\frac{1}{(4)^{2}}+\frac{1}{(2)^{2}}+\frac{1}{(2)^{2}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{n}[/tex] adica este mai mica decat 1, dar mai mare decat 0 pentru orice n>1. Deci S este de ex 0.001, poate fi, care are partea intreaga 0
Atunci partea intreaga a acelei sume este
[tex][S]=0[/tex] si observi ca pentru a obtine numarul din expresie mai trebuie sa adunam 1, deci partea intreaga a numarului este 1.
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!