👤
a fost răspuns

Daca z1 si z2 sunt rădăcinile complexe ale ecuatiei z^2-z+1=0, atunci z1^2015+z2^2015=?

Răspuns :

daca inmultesti ecuatia cu z+1 o sa iti dea : z^3+1=0 deci z^3=-1
z1^2015+z2^2015=z1^2*z1^2013+z2^2*z2^2013=-z1^2-z2^2=-(z1+z2)+2
dar z1+z2=1 deci raspunsul ese : 2-1=1
ALBASTRUVERDE12EZ
[tex]\displaystyle z^2-z+1=0.~Observam~ca~z=0~nu~este~solutie~a~ecuatiei, \\ \\ deci~putem~inmulti~ecuatia~cu~z,~rezultand:~z^3=z^2-z.~(*) \\ \\ z^2-z+1=0 \Rightarrow z^2-z=-1.~(**) \\ \\ Din~(*)~si~(**)~rezulta~z^3=-1. \\ \\ z_1^{2015}= \left(z_1^3 \right)^{671} \cdot z_1^2=-z_1^2. \\ \\ z_2^{2015}= \left(z_2^3 \right)^{671} \cdot z_2^2=-z_2^2.[/tex]

[tex]\displaystyle Deci~z_1^{2015}+z_2^{2015}=- \left(z_1^2+z_2^2 \right)=- \left( \left(z_1+z_2 \right)^2-2z_1z_2\right)=\\ \\ =-(z_1+z_2)^2+2z_1z_2=-1^2+2 \cdot 1=1. \\ \\ (Am~folosit~relatiile~lui~Viete.)[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari