In atasamentul de mai jos poti vedea cele trei posibilitati despre care vorbeam anterior. (De aceea spun ca era necesar sa si precizezi despre ce linie mijlocie este vorba)
In orice caz, voi demonstra ca cele trei triunghiuri evidentiate au aceeasi arie, egala cu un sfert din aria triunghiului ABC.
In figura 2 ai un triunghi ABC cu cele trei linii mijlocii ale sale ( [XY] ; [YZ] si [XZ]).
Ne propunem sa demonstram ca ariile triunghiurilor AYZ, AYX si AZX sunt egale.
Cum XZ || AY si XZ=AC/2=AY, rezulta ca AYXZ este paralelogram. Sa-i notam centrul cu O. Stim insa ca intr-un paralelogram, cele 4 triunghiuri formate de diagonale si de laturi (in cazul de fata AOZ,AOY, ZOX, XOY)) sunt echivalente (au aceeasi arie).
[tex]
\displaystyle Voi~nota~s=A_{AOY}=A_{XOY}=A_{XOZ}=A_{AOZ}. \\ \\ Atunci~A_{AZY}=A_{AOZ}+A_{AOY}=2s. \\ \\ A_{AXY}=A_{AOY}+A_{XOY}=2s. \\ \\ A_{AXZ}=A_{AOZ}+A_{XOZ}=2s. \\ \\ Deci~am~demonstrat~ca~ \boxed{A_{AZY}=A_{AXY}=A_{AXZ}}~.[/tex]
[tex]\displaystyle \Delta AZY \sim \Delta ABC,~iar~raportul~de~asemnare~este~ \frac{1}{2}.~Deci~raportul \\ \\ ariilor~este~ \left(\frac{1}{2} \right)^2= \frac{1}{4}. \\ \\ Deci~A_{AZY}=A_{AXZ}=A_{AYZ}= \frac{A_{ABC}}{4}. [/tex]
Deci in cazul de fata (sau "cazurile de fata") fiecare triunghi evidnetiat are aria egala cu 7 cm^2.
