In general derivata unui raport de functii este
[tex](\frac{g}{h})^{\prime}=\frac{g^{\prime}*h-g*h^{\prime}}{h^2}[/tex]
In cazul nostru, avem g(x)=lnx si [tex]h(x)=\sqrt{x}[/tex] Atunci
[tex]f(x)^{\prime}=\frac{(lnx)^{\prime}*\sqrt{x}-lnx*(\sqrt{x})^{\prime}}{x}=\frac{\frac{1}{x}*\sqrt{x}-lnx*\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-lnx*\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{2-lnx}{2x\sqrt{x}}[/tex]
b) Intervalele de monotonie sunt date de derivata functiei
Daca derivata este pozitiva, inseamna ca functia este crescatoare, daca are valori negative, inseamna ca este descrescatoare
Observam ca pentru x in [0,Inf] partea de la numarator(x*rad(x)) este mereu pozitiva. Asa ca semnul derivatei va fi dat de partea de sus a fractiei
[tex]2-lnx>0\Rightarrow lnx<2\Rightarrow x<e^{2}[/tex] Deci derivata este pozitiva pe intervalul [0,e*e] deci pe acest interval functia e crescatoare. Pe intervalul [e*e,Inf] functia va fi descrescatoare.
c) Aplicam logaritm natural ecuatiei respectie
[tex]ln(3^{\sqrt{5}})\leq ln(5^{\sqrt{3}})\Rightarrow \sqrt{5}*ln(3)\leq \sqrt{5}*ln(3)\Rightarrow \frac{ln(3)}{\sqrt{3}}\leq \frac{ln(5)}{\sqrt{5}}\Rightarrow f(3)\leq f(5)[/tex]
Dar noi stim ca functia este crescatoare pe intervalul [0,e*e] adica [0,7.38]
3 si 5 sunt in acest interval, 3<5, atunci f(3)<f(5) este adevarat
