Salut,
Problema din enunț se regăsește în culegerea "Probleme de algebră", de autorii Coșniță și Turtoiu, ediția a patra, din 1989.
Este problema nr. 60 de la pagina 83, vezi poza atașată.
Prima condiție este evidentă, pentru ca ecuația f(x) = 0 să aibă 2 soluții, trebuie ca Δ > 0 (fără egal; dacă am avea și egal, atunci ecuația f(x) = 0 ar avea o singură soluție).
A doua condiție apare de la următoarea identitate:
f(x) = a(x-x1)*(x-x2), unde "a" este coeficientul lui x², x1 este prima soluție a ecuației f(x) = 0 și x2 este a doua soluție.
De aici af(x) = a²(x-x1)*(x-x2), înmulțirea cu "a" creează acel a² care are avantajul că are valori pozitive pentru orice "a" nenul.
Acum că știm teoria, haide să vedem cea de-a doua condiție:
af(-1) < 0, sau a²(-1-x1)(-1-x2) < 0, sau a²(1+x1)(1+x2) < 0.
a² > 0, deci semnul este + (plus).
x1 < -1 (din enunț), deci 1 + x1 < 0, deci semnul este - (minus).
x2 > 1/2 (din enunț), deci 1 + x2 > 3/2 > 0, deci semnul este + (plus).
Cele 3 semne înmulțite dau - (minus), deci a doua condiție este corectă.
La final, să vedem cea de-a treia condiție:
af(1/2) < 0, sau a²(1/2-x1)(1/2-x2) < 0.
a² > 0, deci semnul este + (plus).
x1 < -1 (din enunț), deci -x1 > 1, sau 1/2-x1 > 3/2 > 0, deci semnul este + (plus).
x2 > 1/2 (din enunț), deci 1/2 - x2 < 0, deci semnul este - (minus).
Cele 3 semne înmulțite dau - (minus), deci a treia condiție este corectă.
P.S. Vezi că în enunțul scris de tine, în loc de R* (R stelat, adică fără valoarea 0), apare R+, care înseamnă altceva, înseamnă doar valorile pozitive. Pe viitor, te rog să scrii enunțul corect.
Green eyes.
