Avem o relatie foarte simpla pe care o poti folosi.
Sa uitam de triunghiul tau particular si sa luam un triunghi oarecare ABC
Ducem din B inaltimea pe latura AC si o notam cu M
Atunci stim ca aria acelui triunghi va fi
[tex]A_{ABC}=\frac{BM*AC}{2}[/tex]
BM este perpendicular pe AC, atunci triunghiul AMB este dreptunghic, cu catetele AM si BM si ipotenuza AB. Stim ca sinusul unui unghi in general este
[tex]sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}[/tex] In cazul nostru
[tex]\sin{BAM}=\sin{BAC}=\frac{BM}{AB}\Rightarrow BM=\sin{BAC}*AB[/tex]
Inlocuim pe BM in relatia de mai sus
[tex]A_{ABC}=\frac{\sin{BAMC*AB*AC}{2}[/tex] relatie valabila pentru orice triunghi
Deci stim ca aria poate fi scrisa ca sinusul unghiului inmultit cu produsul catetelor
Ne intoarcem la problema noastra. AD este bisectoare in triunghi, atunci
[tex]\angle{BAD}=\angle{DAC}=\frac{\angle{BAC}}{2}=\frac{120}{2}=60[/tex]
Putem scrie aria intregului triunghi drept
[tex]A_{ABC}=\frac{\sin{BAC}*AB*AC}{2}[/tex](1)
dar observam ca ABC este format acum din triunghiurile ABD si ACD asa ca mai poate fi scris drept
[tex]A_{ABC}=A_{ABD}+A_{ACD}[/tex](2) si fiecare triunghi in parte poate fi calculat dupa formula
[tex]A_{ABD}=\frac{\sin{BAD}*AB*AD}{2}[/tex](3)
[tex]A_{ACD}=\frac{\sin{DAC}*AC*AD}{2}=\frac{\sin{BAD}*AC*AD}{2}[/tex](4)
Inlocuim 1,3 si 4 in formula 2
[tex]\frac{\sin{BAC}*AB*AC}{2}=\frac{\sin{BAD}*AB*AD}{2}+\frac{\sin{BAD}*AC*AD}{2}=\frac{AD*\sin{BAD}}{2}(AB+AC)\Rightarrow AD=\frac{\sin{BAC}*AB*AC}{\sin{BAD}*AB+AC}[/tex]
Mai stim urmatoarele lucruri
[tex]\sin{BAC}=\sin{120}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\sin{BAD}=\sin{60}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin{BAC}[/tex]
Atunci:
[tex]AD=\frac{AB*AC}{AB+AC}=\frac{12*10}{12+10}=\frac{120}{22}[/tex]
