Pentru orice valoare x, putem face urmatoarea observatie
[tex]tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\Rightarrow tgx^{2}=\frac{\sin{x}^{2}}{\cos{x}^{2}}=\frac{1-\cos{x}^{2}}{\cos{x}^{2}}=\frac{1}{\cos{x}^{2}}-1[/tex]
Daca e adevarat pentru orice x, va fi la fel si pentru x=2a
[tex]tg2a^{2}=\frac{1}{\cos{2a}^{2}}-1[/tex]
Putem sa-l aflam pe cos2a in functie de cosa
[tex]\cos{2a}=2\cos{a}^{2}-1=2*\frac{4}{9}-1=\frac{8}{9}=-\frac{1}{9}[/tex]
Atunci ajungem la concluzia ca
[tex]tg2a^{2}=\frac{1}{\cos{2a}^{2}}-1=\frac{1}{\frac{1}{81}}-1=81-1=80[/tex]
acum vine problema ce semn va acea aceasta tangenta
2a apartine intervalului 2*(pi,3*pi/2)=(2*pi,3*pi)
tangenta este o functie periodica de pi, deci e ca si cum am cauta o solutie in (0,pi)
cosinus este o functie periodica de 2*pi, deci cautam solutie tot in [0,pi] stim ca valoarea lui cos este negativa(-1/9) ceea ce inseamna ca 2a se afla in intervalul (pi/2,pi) unde cos este negativa. Dar sin este pozitiva pe acest interval, si cum tg=sin/cos, inseamna ca si tg va fi negativa(pozitiv/negativ)
Atunci
[tex]tg2a=-\sqrt{80}=-4\sqrt{5}[/tex]
