Intersectia tuturor medianelor unui triunghi se numeste centrul de greutate al triunghiului. Daca doua mediane AD si BE se intersecteaza in G, atunci si a treia mediana va trece tot prin G, si G este centrul de greutate al triunghiului.
Una din proprietatile centrului de greutate este ca e pozitionat la 2/3 din lungimea medianei fata de varf. Folosindu-ne de acest fapt, putem calcula AG si BG
[tex]AG=\frac{2}{3}*AD=\frac{2}{3}*18=2*6=12[/tex]
[tex]BG=\frac{2}{3}*BE=\frac{2}{3}*24=2*8=16[/tex]
a) AD este perpendicular pe BE si se intersecteaza in G, atunci triunghiul AGB este dreptunghic, cu catetele AG si BG. Stiind ca aria unui triunghi dreptunghic poate fi calculata cu formula:
[tex]A_{dreptunghic}=\frac{cateta1*cateta2}{2}[/tex]
Atunci aria triunghiului AGB este
[tex]A_{AGB}=\frac{AG*BG}{2}=\frac{12*16}{2}=12*8=96cm^{2}{[/tex]
b) Aria unui triunghi este egala cu inaltimea*baza/2, Daca ne uitam la triunghiul ABD, vedem ca avem deja o inaltime: BG perpendiculara pe baza AD. Asadar puteam calcula aria lui ABD
[tex]A_{ABD}=\frac{BG*AD}{2}=\frac{16*18}{2}=8*18=144cm^{2}[/tex]
Mai stim ca o mediana imparte un triunghi in doua triunghiuri de arii egale. AD este mediana in triunghiul ABC, asadar
[tex]A_{ABC}=A_{ABD}+A_{ACD}=2A_{ABD}=2*144=288cm^{2}[/tex]
c) sa zicem ca notam cu M intersectia dintre perpendiculara din A si dreapta BC. AM este inaltime in triunghiul ABC, deci putem aplica cealalta formula ca sa deducem valoarea inaltimei
[tex]A_{ABC}=\frac{AM*BC}{2}\Rightarrow AM=\frac{2A_{ABC}}{BC}=\frac{2*288}{24}=24cm[/tex]
