Răspuns :
36. Este important sa observi ca fractia periodica simpla 0,(11111) poate fi exprimata ca fractie sub forma
[tex]0.(1)=\frac{1}{9}\Rightarrow 9=\frac{1}{0.(1)}[/tex]
In mod similar, mai avem urmatoarele cazuri
[tex]0.(01010101)=\frac{1}{99}\Rightarrow 99=\frac{1}{0.(01010101)}[/tex]
De asemenea
[tex]0.(001)=\frac{1}{999}\Rightarrow 999=\frac{1}{0.(001)}[/tex]
Acum incepem sa prelucram numerele
[tex]n=\sqrt{16}+\sqrt{\frac{5}{\frac{2*0.(1)}{10}}}+\sqrt{\frac{5}{\frac{2*0.(1)}{10}}}+\sqrt{\frac{55}{\frac{2*0.(01)}{10}}}+\sqrt{\frac{555}{\frac{2*0.(001)}{10}}}\Rightarrow n=4+\sqrt{\frac{5*10}{2}*\frac{1}{0.(1)}}}+\sqrt{\frac{55*10}{2}*\frac{1}{0.(01)}}}+\sqrt{\frac{555*10}{2}*\frac{1}{0.(001)}}}=4+\sqrt{5*5*9}+\sqrt{55*5*99}+\sqrt{555*5*999}=4+5*3+\sqrt{5^{2}*3^{2}*11^{2}}+\sqrt{5^{2}*3^{2}*111^{2}}=4+15+5*3*11+5*3*111=19+165+1665=1849[/tex]
Observam ca 1849 este mai mare decat 1600(40 la patrat), dar este mai mic decat 2025(45^2). Deci trebuie sa fie undeva in acest interval valoarea radacinii (40,45) numarul se termina cu 9, deci radacina lui ar trebui sa se termine cu 3.
Atunci 43 ar fi acel numar si intr-adevar 43*43=1849, deci n este patrat perfect
37) Oricare dintre acele numere poate fi scris drept:
[tex]\frac{1}{2*n*(n+1)}[/tex]
De exemplu primii termeni pot fi scrisi asa
[tex]\frac{1}{4}=\frac{1}{2*1*2}[/tex]
[tex]\frac{1}{2*6}=\frac{1}{2*2*3}[/tex]
[tex]\frac{1}{3*8}=\frac{1}{2*3*4}[/tex]
..................................................................
[tex]\frac{1}{48*98}=\frac{1}{2*48*49}[/tex]
[tex]\frac{1}{49*100}=\frac{1}{2*49*50}[/tex]
Deci regula este clara
Acum acea forma generala poate fi scrisa simplificat astfel
[tex]\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}*\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})[/tex]
Aplicam aceasta descompunere pentru toate fractiile in mod separat
[tex]\frac{1}{4}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})[/tex]
[tex]\frac{1}{2*6}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})[/tex]
[tex]\frac{1}{3*8}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})[/tex]
..................................................................
[tex]\frac{1}{48*98}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{48}-\frac{1}{49})[/tex]
[tex]\frac{1}{49*100}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{49}-\frac{1}{50})[/tex]
Acum adunam toate aceste relatii. In partea stanga, in mod evident, o sa apara sum a tuturor fractiilor, adica A. In dreapta vor avea loc foarte multe simplificari
[tex]A=\frac{1}{4}+\frac{1}{2*6}+\frac{1}{3*8}+...+\frac{1}{48*98}+\frac{1}{49*100}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+..................+\frac{1}{48}-\frac{1}{49}+\frac{1}{49}-\frac{1}{50})=\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{50})=\frac{1}{2}*\frac{50-1}{50}=\frac{49}{100}=\frac{7^{2}}{10^{2}}=(\frac{7}{10})^{2}[/tex]
Atunci este evident ca
[tex]\sqrt{A}=\frac{7}{10}[/tex]
38) Din relatia de invers proportionalitate rezulta ca
[tex]8a=4.5b=\frac{9}{2}b\Rightarrow b=\frac{16}{9}a[/tex]
Media aritmetica a lui a si b este
[tex]m_{a}=\frac{a+b}{2}=200\Rightarrow a+b=400\Rightarrow a+\frac{16}{9}a=400\Rightarrow \frac{9+16}{9}a=\frac{25}{9}a=400\Rightarrow a=\frac{400*9}{25}=16*9[/tex]
Il putem afla si pe b acum
[tex]b=\frac{16*16*9}{9}=16*16=16^{2}[/tex]
Si acum putem afla media geometrica
[tex]m_{g}=\sqrt{a*b}=\sqrt{9*16*16^{2}}=\sqrt{3^{2}*4^{2}*16^{2}}=3*4*16=192[/tex]
[tex]0.(1)=\frac{1}{9}\Rightarrow 9=\frac{1}{0.(1)}[/tex]
In mod similar, mai avem urmatoarele cazuri
[tex]0.(01010101)=\frac{1}{99}\Rightarrow 99=\frac{1}{0.(01010101)}[/tex]
De asemenea
[tex]0.(001)=\frac{1}{999}\Rightarrow 999=\frac{1}{0.(001)}[/tex]
Acum incepem sa prelucram numerele
[tex]n=\sqrt{16}+\sqrt{\frac{5}{\frac{2*0.(1)}{10}}}+\sqrt{\frac{5}{\frac{2*0.(1)}{10}}}+\sqrt{\frac{55}{\frac{2*0.(01)}{10}}}+\sqrt{\frac{555}{\frac{2*0.(001)}{10}}}\Rightarrow n=4+\sqrt{\frac{5*10}{2}*\frac{1}{0.(1)}}}+\sqrt{\frac{55*10}{2}*\frac{1}{0.(01)}}}+\sqrt{\frac{555*10}{2}*\frac{1}{0.(001)}}}=4+\sqrt{5*5*9}+\sqrt{55*5*99}+\sqrt{555*5*999}=4+5*3+\sqrt{5^{2}*3^{2}*11^{2}}+\sqrt{5^{2}*3^{2}*111^{2}}=4+15+5*3*11+5*3*111=19+165+1665=1849[/tex]
Observam ca 1849 este mai mare decat 1600(40 la patrat), dar este mai mic decat 2025(45^2). Deci trebuie sa fie undeva in acest interval valoarea radacinii (40,45) numarul se termina cu 9, deci radacina lui ar trebui sa se termine cu 3.
Atunci 43 ar fi acel numar si intr-adevar 43*43=1849, deci n este patrat perfect
37) Oricare dintre acele numere poate fi scris drept:
[tex]\frac{1}{2*n*(n+1)}[/tex]
De exemplu primii termeni pot fi scrisi asa
[tex]\frac{1}{4}=\frac{1}{2*1*2}[/tex]
[tex]\frac{1}{2*6}=\frac{1}{2*2*3}[/tex]
[tex]\frac{1}{3*8}=\frac{1}{2*3*4}[/tex]
..................................................................
[tex]\frac{1}{48*98}=\frac{1}{2*48*49}[/tex]
[tex]\frac{1}{49*100}=\frac{1}{2*49*50}[/tex]
Deci regula este clara
Acum acea forma generala poate fi scrisa simplificat astfel
[tex]\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}*\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})[/tex]
Aplicam aceasta descompunere pentru toate fractiile in mod separat
[tex]\frac{1}{4}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})[/tex]
[tex]\frac{1}{2*6}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})[/tex]
[tex]\frac{1}{3*8}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})[/tex]
..................................................................
[tex]\frac{1}{48*98}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{48}-\frac{1}{49})[/tex]
[tex]\frac{1}{49*100}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{49}-\frac{1}{50})[/tex]
Acum adunam toate aceste relatii. In partea stanga, in mod evident, o sa apara sum a tuturor fractiilor, adica A. In dreapta vor avea loc foarte multe simplificari
[tex]A=\frac{1}{4}+\frac{1}{2*6}+\frac{1}{3*8}+...+\frac{1}{48*98}+\frac{1}{49*100}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+..................+\frac{1}{48}-\frac{1}{49}+\frac{1}{49}-\frac{1}{50})=\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{50})=\frac{1}{2}*\frac{50-1}{50}=\frac{49}{100}=\frac{7^{2}}{10^{2}}=(\frac{7}{10})^{2}[/tex]
Atunci este evident ca
[tex]\sqrt{A}=\frac{7}{10}[/tex]
38) Din relatia de invers proportionalitate rezulta ca
[tex]8a=4.5b=\frac{9}{2}b\Rightarrow b=\frac{16}{9}a[/tex]
Media aritmetica a lui a si b este
[tex]m_{a}=\frac{a+b}{2}=200\Rightarrow a+b=400\Rightarrow a+\frac{16}{9}a=400\Rightarrow \frac{9+16}{9}a=\frac{25}{9}a=400\Rightarrow a=\frac{400*9}{25}=16*9[/tex]
Il putem afla si pe b acum
[tex]b=\frac{16*16*9}{9}=16*16=16^{2}[/tex]
Si acum putem afla media geometrica
[tex]m_{g}=\sqrt{a*b}=\sqrt{9*16*16^{2}}=\sqrt{3^{2}*4^{2}*16^{2}}=3*4*16=192[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!