[tex]\displaystyle a).1+4+7+10+...+541 \\ \\ 541=1+(n-1) \cdot3 \\ \\ 541=1+3n-3 \\ \\3n=541-1+3 \\ \\3n=543 \\ \\n=181 \\ \\S_{181}= \frac{2 \cdot 1+(181-1) \cdot 3}{2} \cdot 181 \\ \\S_{181}= \frac{2+180 \cdot 3}{2} \cdot 181 \\ \\ S_{181}= \frac{2+540}{2} \cdot 181 \\ \\ S_{181}= \frac{542}{2} \cdot 181 \\ \\ S_{181}=271 \cdot 181 \\ \\ S_{181}=49051[/tex]
[tex]\displaystyle b).1+5+9+13+...+725 \\ \\ 725=1+(n-1) \cdot 4 \\ \\ 725=1+4n-4\\ \\ 4n=725-1+4 \\ \\ 4n=728 \\ \\ n=182 \\ \\ S_{182}= \frac{2 \cdot 1+(182-1) \cdot 4}{2} \cdot 182 \\ \\ S_{182}=(2+181 \cdot 4) \cdot 91\\ \\ S_{182}=(2+724) \cdot 91 \\ \\ S_{182}=726 \cdot 91\\ \\ S_{182}=66066[/tex]
[tex]\displaystyle c).3+7+11+15+...+743 \\ \\ 743=3+(n-1) \cdot 4 \\ \\ 743=3+4n-4 \\ \\ 4n=743-3+4\\ \\ 4n=744 \\ \\ n=186 \\ \\ S_{186}= \frac{2 \cdot 3+(186-1) \cdot 4}{2}\cdot 186 \\ \\ S_{186}= (6+185 \cdot 4)\cdot 93 \\ \\ S_{186}=(6+740) \cdot 93 \\ \\ S_{186}=746 \cdot 93\\ \\ S_{186}=69378[/tex]
[tex]\displaystyle d).5+7+9+11+...+2005 \\ \\2005=5+(n-1) \cdot 2 \\ \\ 2005=5+2n-2\\ \\ 2n=2005-5+2 \\ \\ 2n=2002 \\ \\ n=1001 \\ \\ S_{1001}= \frac{2 \cdot 5+(1001-1) \cdot 2}{2} \cdot 1001 \\ \\ S_{1001}= \frac{10+1000 \cdot 2}{2} \cdot 1001\\ \\ S_{1001}= \frac{10+2000}{2} \cdot 1001 \\ \\ S_{1001}= \frac{2010}{2} \cdot 1001 \\ \\ S_{1001}=1005\cdot 1001 \\ \\ S_{1001}=1006005[/tex]
