[tex]e^{x}\geq x+1\Rightarrow e^{x}-x-1\geq 0[/tex] Sa notam functia din stanga inegalitatii cu f(x). Trebuie sa demonstram ca x are un minim global egal cu 0
Calculam derivata functiei
[tex]f^{\prime}(x)=(e^{x})^{\prime}-x^{\prime}=e^{x}-1[/tex]
Stim ca in cazurile in care derivata functiei este pozitiva, atunci functia este strict crescatoare, si daca este negativa, functia este strict descrescatoare.
Sa vedem cum evolueaza derivata, fata de 0
[tex]e^{x}-1\geq0\Rightarrow e^{x}\geq 1[/tex] Aplicam un logaritm natural in ambele parti
[tex]ln(e^{x})\geq ln1\Rightarrow xlne=x\geq 0[/tex]
Deci derivata functiei este pozitiva daca x mai mare decat 0, si este negativa daca x este mai mica decat 0
Asta inseamna ca pe intervalul [-Inf,0] functia f este descrescatoare. Sa vedem de la ce valoare coboara
[tex]lim_{-Inf}{e^{x}-x-1}=x^{-Inf}-(-Inf)-1=0+Inf=Inf[/tex]
Deci functia va cobori de la o valoare infinita
Sa vedem valoarea minima locala la care ajunge
[tex]f(0)=e^{0}-0-1=1-1=0[/tex] Deci valorile functiei vor scade de la +Infinit pana la 0 pentru x<0
Pentru x>0, derivata e pozitiva, functia devine strict crescatoare pe intervalul [0,Inf] si asta inseamna ca orice valoare va fi mai mare decat f(0)=0. De fapt pentru limita la infinit, functia da tot infinit. Asadar demonstram ca [tex]e^{x}-x-1\geq 0[/tex][/tex]
