👤
a fost răspuns

2²+6²+...+(4n+2)² = ?


Răspuns :

SEESHARPEZ
cum ultimul termen e (4n+2)^2 =>
termenul general 
(4n+2)^2 =[2*(2n+1)]^2 =4*(2n+1)^2 =>

Suma devine : S=4*(1^2+3^2 +5^2+...+(2n+1)^2 )

aici aplici doar formula patratelor nr impare:

    1^2+3^2+...+            (2p-1)^2        =p*(2p-1)*(2p+1)/3
in cazul tau ai
    (1^2+3^2 +5^2+...      +(2n+1)^2)  , adica p=n+1, inlocuiesti in formula pe p cu n+1 si ai :
=> S=4* (n+1)*(2n+1)*(2n+3)/3
        =4/3 *(n+1)*(2n+1)*(2n+3)
        
[tex]\displaystyle 2^2+6^2+...+(4n+2)^2 \\ \\ \sum\limits ^{n}_{k=0} (4k+2)^2=\sum\limits_{k=0}^n (16k^2+16k+4)=\sum\limits_{k=0}^n16k^2+\sum\limits_{k=0}^n16k+4(n+1)= \\ \\ =16\cdot \sum\limits_{k=0}^nk^2+16\cdot\sum\limits_{k=0}^nk+4n+4=\\ \\=16 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +16 \cdot \frac{n(n+1)}{2} +4n+4= \\ \\ = 8 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} +8 \cdot n(n+1)+4n+4=\\ \\ =8 \cdot \frac{(n^2+n)(2n+1)}{3} +8n^2+8n+4n+4= \\ \\ =\frac{16n ^3+24n^2+8n+24n^2+24n+12n+12}{3} =[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac{16n^3+48n^2+44n+12}{3} = \frac{4(4n^3+12n^2+11n+3)}{3} = \\ \\ = \frac{4}{3} (4n^3+12n^2+11n+3)= \frac{4}{3} (n+1)(2n+1)(2n+3)[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari