Răspuns :
Acea proiectie este practic inaltimea in triunghiul ABC din varful A pe latura BC, cu piciorul inaltimii fiind D, AD perpendicular pe BC.
a) triunghiul ADB este dreptunghic cu unghiul D=90 grade. Atunci catetele sunt AD si BD, ipotenuza este AB. Din teorema lui Pitagora avem
[tex]AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}\Rightarrow BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=c^{2}-AD^{2}[/tex]
triunghiul ADC este si el dreptunghic cu AD si CD catete si AC ipotenuza. Observam ca CD este restul segmentului BC, adica CD=BC-BD=a-BD
Facem din nou teorema lui Pitagora
[tex]AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}\Rightarrow AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=b^{2}-(a-BD)^{2}=b^{2}-a^{2}-BD^{2}+2aBD[/tex]
Inlocuim pe AD^2 din a doua ecuatie in prima
[tex]BD^{2}=c^{2}-b^{2}+a^{2}+BD^{2}-2aBD\Rightarrow 2aBD=a^{2}-b^{2}+c^{2}\Rightarrow BD=\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}[/tex]
b) Observam ca in partea stanga a egalitatii al doilea termen poate fi scris in functie de BD
[tex]a^{2}-b^{2}+c^{2}=2aBD\Rightarrow (a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}=4a^{2}BD^{2}[/tex]
Acum inlocuim in ecuatie
[tex]4a^{2}c^{2}-4a^{2}*BD^{2}=4a^{2}*(c^{2}-BD^{2})=4a^{2}*(c-BD)*(c+BD)=4a^{2}*(c-\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a})(c+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a})=4a^{2}*\frac{2ac-(a^{2}+c^{2})+b^{2}}{2a}*\frac{2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}=[b^{2}-(a^{2}-2ac+c^{2}]*[a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2}]=[b^{2}-(a-c)^{2}][(a+c)^{2}-b^{2}]=(b-(a-c))*(b+(a-c))*((a+c)-b)*((a+c)+b)=(a+b+c)*(a+b-c)*(b+c-a)*(c+a-b)[/tex]
c) Ne uitam la partea din dreapta
[tex]p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=\frac{a+b+c}{2}*(\frac{a+b+c}{2}-a)*(\frac{a+b+c}{2}-b)*(\frac{a+b+c}{2}-c)=\frac{a+b+c}{2}*\frac{a+b+c-2a}{2}*\frac{a+b+c-2b}{2}*\frac{a+b+c-2c}{2}=\frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{16}[/tex]
Observi ca partea de sus este exact expresia de la punctul b. Atunci
[tex]p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=\frac{4a^{2}(c^{2}-BD^{2})}{16}=\frac{a^{2}(c^{2}-BD^{2})}{4}[/tex]
Aria unui triunghi este calculata de obicei ca inaltime*baza/2 In cazul nostru pentru inaltimea AD
[tex]S=\frac{AD*BC}{2}\Rightarrow S^{2}=\frac{AD^{2}*a^{2}}{4}=\frac{a^{2}*(c^{2}-BD^{2})}{4}[/tex]
Deci din ultimele doua relatii rezulta ca
[tex]S^{2}=p*(p-a)*(p-b)*(p-c)[/tex]
a) triunghiul ADB este dreptunghic cu unghiul D=90 grade. Atunci catetele sunt AD si BD, ipotenuza este AB. Din teorema lui Pitagora avem
[tex]AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}\Rightarrow BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=c^{2}-AD^{2}[/tex]
triunghiul ADC este si el dreptunghic cu AD si CD catete si AC ipotenuza. Observam ca CD este restul segmentului BC, adica CD=BC-BD=a-BD
Facem din nou teorema lui Pitagora
[tex]AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}\Rightarrow AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=b^{2}-(a-BD)^{2}=b^{2}-a^{2}-BD^{2}+2aBD[/tex]
Inlocuim pe AD^2 din a doua ecuatie in prima
[tex]BD^{2}=c^{2}-b^{2}+a^{2}+BD^{2}-2aBD\Rightarrow 2aBD=a^{2}-b^{2}+c^{2}\Rightarrow BD=\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}[/tex]
b) Observam ca in partea stanga a egalitatii al doilea termen poate fi scris in functie de BD
[tex]a^{2}-b^{2}+c^{2}=2aBD\Rightarrow (a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}=4a^{2}BD^{2}[/tex]
Acum inlocuim in ecuatie
[tex]4a^{2}c^{2}-4a^{2}*BD^{2}=4a^{2}*(c^{2}-BD^{2})=4a^{2}*(c-BD)*(c+BD)=4a^{2}*(c-\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a})(c+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a})=4a^{2}*\frac{2ac-(a^{2}+c^{2})+b^{2}}{2a}*\frac{2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}=[b^{2}-(a^{2}-2ac+c^{2}]*[a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2}]=[b^{2}-(a-c)^{2}][(a+c)^{2}-b^{2}]=(b-(a-c))*(b+(a-c))*((a+c)-b)*((a+c)+b)=(a+b+c)*(a+b-c)*(b+c-a)*(c+a-b)[/tex]
c) Ne uitam la partea din dreapta
[tex]p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=\frac{a+b+c}{2}*(\frac{a+b+c}{2}-a)*(\frac{a+b+c}{2}-b)*(\frac{a+b+c}{2}-c)=\frac{a+b+c}{2}*\frac{a+b+c-2a}{2}*\frac{a+b+c-2b}{2}*\frac{a+b+c-2c}{2}=\frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{16}[/tex]
Observi ca partea de sus este exact expresia de la punctul b. Atunci
[tex]p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=\frac{4a^{2}(c^{2}-BD^{2})}{16}=\frac{a^{2}(c^{2}-BD^{2})}{4}[/tex]
Aria unui triunghi este calculata de obicei ca inaltime*baza/2 In cazul nostru pentru inaltimea AD
[tex]S=\frac{AD*BC}{2}\Rightarrow S^{2}=\frac{AD^{2}*a^{2}}{4}=\frac{a^{2}*(c^{2}-BD^{2})}{4}[/tex]
Deci din ultimele doua relatii rezulta ca
[tex]S^{2}=p*(p-a)*(p-b)*(p-c)[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!