daca BD este perpendicular pe AD, inseamna ca triunghiul BAD este dreptunghic cu unghiul D=90grade. Rezulta ca BD si AD sunt catete, iar AB este ipotenuza. Cum M este mijlocul lui AB, atunci DM este mediana din triunghiul dreptunghic corespunzatoare ipotenuzei. Dar stim ca aceasta mediana este egala cu jumatate din ipotenuza din proprietatile triunghiului dreptunghic
Atunci [tex]DM=\frac{1}{2}*AB[/tex]
Din proprietatile paralelogramului mai stim ca: laturile opuse sunt paralele si egale. Atunci, AD este paralel cu BC, daca BD e perpendicular pe AD, atunci va fi perpendicular si pe BC, BD perpendicular pe BC se formeaza triunghiul dreptunghic DBC cu unghiul B de 90 de frade. Laturile opuse AB si CD sunt si ele paralele dar si egale CD=AD
In triunghiul dreptunghic DBC, BD si BC sunt catete, iar CD este ipotenuza. Dar din nou N este mijlocul lui CD, al ipotenuzei, BN este mediana corespunzatoare ipotenuzei, adica
[tex]BN=\frac{1}{2}*CD=\frac{1}{2}*AB=DM[/tex]
Acum ne uitam la patrulaterul BMDN. Prima oara observam ca BM si DN sunt paralele, din moment ce ambele apartin segmentelor AB si CD care sunt paralele. Apoi mai observam ca sunt egale intre ele, deoarece
BM este mijlocul lui AB [tex]BM=\frac{1}{2}*AB[/tex]
DN este mijlocul lui CD [tex]DN=\frac{1}{2}*CD=\frac{1}{2}*AB[/tex]
deci BM=DN si BM||BN, rezulta ca BMDN este un paralelogram. Dar mai stim ca
[tex]BM=DN=\frac{1}{2}*AB=DM=BN[/tex] toate laturile sunt egale,
Paralelogramul BMDN cu toate maturile egale este un romb.
