👤
SORANANEGOITAEZ
a fost răspuns

Va rog ajutați-mă rapid...tema de vacanta
Să se determine valorile lui a €R astfel încât radacinile ecuatiei urmatoare sa indeplineasca conditiile indicate:
ax^2+(2a+1)x+a-1=0, x1 <1,x2 <1

Răspuns :

Pentru o ecuatie de forma [tex]a*x^{2}+bx+c[/tex] stim ca are solutiile
[tex]x1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
[tex]x2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}{2a}}[/tex]
unde
[tex]\Delta=b^{2}-4ac[/tex]
In cazul nostru
[tex]\Delta=(2a+1)^{2}-4a*(a-1)=4a^{2}+4a+1-4a^{2}+4a=8a+1[/tex]
Atunci
[tex]x1<1\Rightarrow \frac{-(2a+1)+\sqrt{\Delta}}{2a}<1\Rightarrow -(2a+1)+\sqrt{\Delta}<2a\Rightarrow \sqrt{\Delta}<2a+2a+1\Rightarrow \sqrt{8a+1}<4a+1[/tex]
Ridicam inegalitatea la patrat
[tex]8a+1<(4a+1)^{2}=16a^{2}+8a+1\Rightarrow 0<16a^{2}[/tex]
Deci ecuatia este adevarata daca a>0
Urmand aceiasi pasi pentru x2, ajungem la relatia
[tex]-\sqrt{8a+1}<4a+1[/tex] care atunci cand este ridicata la patrat, va duce la aceeasi formula. Deci a>0 este conditia ca valorile x1 si x2 sa fie ambele mai mici decat 1..

CRISTINATIBULCAEZ
pentru ca ecuatia sa aibe solutii reale Δ=(2a+1)²-4a(a-1)≥0
4a²+4a+1-4a²+4a≥0
8a+1≥0, a≥-1/8, a∈[-1/8, +∞)
x1<1
x2<1
x1+x2<2
din relatiile lui Viete
x1+x2=-(2a+1)/a
-(2a+1)/a<2
-(2a+1)/a-2<0
-(2a+1)/a-2a/a<0
(-2a-1-2a)/a<0
(4a+1)/a>0, 
    a       I-∞             -1/4                  0                  +∞
     4a+1I-----------------0+++++++++++++++++++++
    a       I-----------------------------------0++++++++++
(4a+1)/aI++++++++++0----------------I++++++++++
a∈(-∞-1/4]∪(0,+∞)
a∈[-1/8,+∞)
a∈(0, +∞)
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari