triunghiul ABD este dreptunghic, cu catetele AB si AD si ipotenuza BD. Putem afla valoarea ipotenuzei cu teorema lui Pitagora
[tex]BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=6^{2}+3^{2}*6^{2}=6^{2}(1+9)=6^{2}*10\Rightarrow BD=6\sqrt{10}[/tex]
Acum putem afla sinusul si cosinusul unghiului ABD
Stim ca
[tex]sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}[/tex]
In cazul nostru
[tex]\sin{ABD}=\frac{AD}{BD}=\frac[6}{6\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}[/tex]
De asemenea
[tex]cos=\frac{cateta alaturata}{ipotenuza}[/tex]
In cazul nostru
[tex]\cos{ABD}=\frac{AB}{BD}=\frac{18}{6\sqrt{10}}=\frac{3}{sqrt{10}}[/tex]
BD este bisectoarea unghiului ABC, atunci
[tex]\angle{ABC}=2\angle{ABD}[/tex]
Si mai stim ca pentru un unghi a
[tex]\sin{2a}=2\sin{a}\cos{a}[/tex]
Atunci
[tex]\sin{ABC}=\sin{2ABD}=2\sin{ABD}\cos{ABD}=2*\frac{1}{\sqrt{10}}*\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{2*3}{10}=\frac{3}{5}[/tex]
Ducem inaltimea din C pe baza AB. Notam piciorul inaltimii cu M. Se formeaza dreptunghiul AMCD(AM paralel cu CD si egala, un unghi are 90 grade dat fiind ca AD perpendicular pe AM)
de aici rezulta ca CM=AD=6
CM perpendicular pe AB, adica si pe MB, rezulta ca CMB este triunghi dreptunghic cu CMB=90, catetele CM si MB si ipotenuza BC
In acest caz, avem urmatoarea relatie pentru sinus pe ABC
[tex]\sin{ABC}=\sin{CBM}=\frac{CM}{BC}=\frac{3}{5}\Rightarrow BC=\frac{5CM}{3}=\frac{5*6}{3}=10[/tex]
stim o cateta CM si ipotenuza BC, din teorema lui pitagora aflam si cateta BM
[tex]BC^{2}=CM^{2}+BM^{2}\Rightarrow BM^{2}=BC^{2}-CM^{2}=10^{2}-6^{2}=100-36=64\Rightarrow BM=8[/tex]
Dar am vazut mai sus ca AM=CD, atunci
AB=AM+BM=CD+BM=CD+8=18, de unde rezulta ca CD=10
Atunci perimetrul trapezului este
[tex]P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=18+10+10+6=44[/tex] Deci raspunsul e b)
