Răspuns :
M este mijlocul lui BC. Atunci CM=BM(1)
NE paralel cu AM, inseamna ca triunghiurile CNE si AMC sunt triunghiuri asemenea cu toate unghiurile egale(unghiul comun [tex]\angle{NCE}=\angle{ACB}[/tex] si unghiurile egale alterne interne pentru secanta AC [tex]\angle{ENC}=\angle{MAC}[/tex] si secanta BC [tex]\angle{NEC}=\angle{AMC}[/tex] )
Triunghiurile fiind asemenea, inseamna ca laturile opuse unghiurilor egale sunt direct proportionale, adica
[tex]\frac{CN}{AC}=\frac{CE}{CM}\Rightarrow \frac{AC-AN}{AC}=1-\frac{AN}{AC}=\frac{CM-ME}{CM}=1-\frac{ME}{CM}\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{ME}{CM}[/tex](2)
AM este paralela cu PE, deci triunghiurile AMB si BPE vor fi asemenea
cu toate unghiurile egale(unghiul comun [tex]\angle{PBE}=\angle{ABM}[/tex] si unghiurile egale alterne interne pentru secanta AB [tex]\angle{BPE}=\angle{BAM}[/tex] si secanta BC [tex]\angle{PEC}=\angle{AMB}[/tex] )
Atunci laturile opuse unghiurilor egale sunt proportionale, adica
[tex]\frac{BP}{AB}=\frac{BE}{BM}\Rightarrow \frac{AB+AP}{AB}=1+\frac{AP}{AB}=\frac{BM+ME}{BM}=1+\frac{ME}{BM}\Rightarrow \frac{AP}{AB}=\frac{ME}{BM}[/tex](3)
Dar stim din relatia 1 ca BM=CM
[tex]\frac{AP}{AB}=\frac{ME}{CM}[/tex] ne uitam si la relatia 2 si ajungem la relatia
[tex]\frac{AN}{AC}=\frac{AP}{AB}\Rightarrow AN*AB=AP*AC\Rightarrow \frac{AN}{AP}=\frac{AC}{AB} [/tex]
NE paralel cu AM, inseamna ca triunghiurile CNE si AMC sunt triunghiuri asemenea cu toate unghiurile egale(unghiul comun [tex]\angle{NCE}=\angle{ACB}[/tex] si unghiurile egale alterne interne pentru secanta AC [tex]\angle{ENC}=\angle{MAC}[/tex] si secanta BC [tex]\angle{NEC}=\angle{AMC}[/tex] )
Triunghiurile fiind asemenea, inseamna ca laturile opuse unghiurilor egale sunt direct proportionale, adica
[tex]\frac{CN}{AC}=\frac{CE}{CM}\Rightarrow \frac{AC-AN}{AC}=1-\frac{AN}{AC}=\frac{CM-ME}{CM}=1-\frac{ME}{CM}\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{ME}{CM}[/tex](2)
AM este paralela cu PE, deci triunghiurile AMB si BPE vor fi asemenea
cu toate unghiurile egale(unghiul comun [tex]\angle{PBE}=\angle{ABM}[/tex] si unghiurile egale alterne interne pentru secanta AB [tex]\angle{BPE}=\angle{BAM}[/tex] si secanta BC [tex]\angle{PEC}=\angle{AMB}[/tex] )
Atunci laturile opuse unghiurilor egale sunt proportionale, adica
[tex]\frac{BP}{AB}=\frac{BE}{BM}\Rightarrow \frac{AB+AP}{AB}=1+\frac{AP}{AB}=\frac{BM+ME}{BM}=1+\frac{ME}{BM}\Rightarrow \frac{AP}{AB}=\frac{ME}{BM}[/tex](3)
Dar stim din relatia 1 ca BM=CM
[tex]\frac{AP}{AB}=\frac{ME}{CM}[/tex] ne uitam si la relatia 2 si ajungem la relatia
[tex]\frac{AN}{AC}=\frac{AP}{AB}\Rightarrow AN*AB=AP*AC\Rightarrow \frac{AN}{AP}=\frac{AC}{AB} [/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!