u si v apartin multimii A. sa presupunem ca
[tex]u(x)=ax^{2}+bx+c[/tex] iar
[tex]v(x)=dx^{2}+ex+f[/tex]
unde cum scrie in multime, a diferit de 0 si d diferit de 0
Atunci
[tex]u(v(x))=a(dx^{2}+ex+f)^{2}+b(dx^{2}+ex+f)+c=a(d^{2}x^{4}+e^{2}x^{2}+f^{2}+2dex^{3}+2dfx^{2}+2efx)+bdx^{2}+bex+bf+c=ad^{2}x^{4}+2adex^{3}+x^{2}(ae^{2}+2adf+bd)+x(2aef+be)+2ad^{2}+bf+c[/tex]
Compunerea arata ca o functie g(x) cu urmatorii coeficienti
[tex]a_{4}=ad^{2}[/tex]
a si d sunt diferite de 0, deci si a4 e diferit de 0, cum scrie in multime
[tex]a_{3}=2ade[/tex]
[tex]a_{2}=ae^{2}+2adf+bd[/tex]
[tex]a_{1}=2aef+be[/tex]
[tex]a_{0}=2ad^{2}+bf+c[/tex]
Deci rezulta ca o compunere de doua functii de grad doi dau o compunere de grad 4
b) [tex]f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a(x^{2}+\frac{b}{2a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+c^{2})=a((x+\frac{b}{2a})^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}})[/tex]
Atunci
[tex]f(-\frac{b}{2a}-x)=a((-\frac{b}{2a}-x+-\frac{b}{2a})^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}})=a((-x)^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}})=a(x^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}})[/tex]
si
[tex]f(-\frac{b}{2a}+x)=a((-\frac{b}{2a}+x+-\frac{b}{2a})^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}})=a((+x)^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}})=a(x^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}})=f(-\frac{b}{2a}-x)[/tex]
c) Ne putem folosi aici de punctele a si b
De la punctul b, stim ca sunt egale pentru orice b si a. In cazul nostru
[tex]\frac{b}{-2a}=1\Rightarrow b=-2a[/tex]
Deci cea mai simpla ecuatie ar fi
[tex]v(x)=x^{2}-2x[/tex]
Mai stim de asemenea ca doua functii de grad doi compuse dau o functie din multimea B, adica g. Luam cea mai simpla forma a lui u(x)
[tex]u(x)=x^{2}[/tex]
Si acum le compunem
[tex]u(v(x))=u(x^{2}-2x)=(x^{2}-2x)^{2}=x^{4}+4x^{2}-4x^{3}[/tex]
d) In ecuatia h(x) observi ca avem coeficientul a3=0. Dar conform descompunerii de mai sus, inseamna ca
[tex]a_{3}=2ade=0[/tex]
Stim ca a si d sunt diferite de 0, rezulta ca e=0
Mai observam ca avem coeficientul 1 pentru x
[tex]a_{1}=2aef+be=1\Rightarrow e(2af+b)=1\Rightarrow 0=1[/tex] Dar daca presupunem ca e=0, ajungem la rezultatul absurd ca 0=1
Asta inseamna ca este imposibil sa imparti functia h(x) in doua parabole compuse. Daca nu le poti imparti in doua parabole compuse, inseamna ca h(a+x) nu poate fi egal vreodata cu h(a-x)
