Functia inversa h(y) trebuie sa indeplineasca conditia
[tex]f(h(y))=y=x^{2}-2x+6[/tex] deci avem ecuatia care trebule rezolvata in x
[tex]x^{2}-2x+6=y\Rightarrow x^{2}-2x+6-y=0[/tex]
Stim ca pentru o ecuatie de gradul 2 de forma [tex]ax^{2}+bx+c=0[/tex] solutia ecuatiei este
[tex]x1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
[tex]x2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
unde
[tex]\Delta=b^{2}-4ac[/tex]
Observam ca delta trebuie sa fie mai mare decat 0 ca sa existe solutiile reale x1 si x2
In cazul nostru
[tex]\Delta=4-4(6-y)=4(1-6+y)=4(y-5)[/tex] dar stim din definita functiei ca ia valori in y apartine lui [5,Inf] deci y>5, y-5>0, deci delta este mai mare ca 0
[tex]x1=\frac{2+\sqrt{4(y-5)}}{2}=\frac{2(1+\sqrt{y-5})}{2}=1+\sqrt{y-5}[/tex]
si
[tex]x2=\frac{2-\sqrt{4(y-5)}}{2}=\frac{2(1-\sqrt{y-5})}{2}=1-\sqrt{y-5}[/tex]
Aparent avem 2 functii inverse, dar daca ne uitam la domeniul de definitie al functiei x apartine [1,Inf), inseamna ca x>1
Dar in cazul lui x2 avem
[tex]\sqrt{y-5}>0\Rightarrow -\sqrt{y-5}<0\Rightarrow 1+\sqrt{y-5}<1[/tex]
Adica exact opusul a ceea ce este definit in functie
De aici rezulta ca functia inversa este x1
[tex]h(y)=1+\sqrt{y-5}[/tex]
stim ca y=9. Atunci
[tex]]h(9)=1+\sqrt{9-5}=1+\sqrt{4}=1+2=3[/tex]
