Răspuns :
Stim de urmatoarea formula
[tex]\cos{2x}=2\cos^{2}{x}-1\Rightarrow \cos^{2}{x}=\frac{1+\cos{2x}}{2}[/tex]
Aplicam aceasta formula pentru cele cele 3 cosinusuri la patrat. Notam acea suma cu S
[tex]S=\frac{1+\cos{2*10}}{2}+\frac{1+\cos{2*50}}{2}+\frac{1+\cos{2*70}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{\cos{20}}{2}+\frac{\cos{100}}{2}+\frac{\cos{140}}{2}[/tex]
Cosinusul unui unghi intre 90 si 180 de grade, atunci
[tex]\cos{180-x}=-\cos{x}[/tex]
Atunci, pentru x=100 si x=140 avem
[tex]\cos{100}=\cos{180-80}=-\cos{80}[/tex]
[tex]\cos{140}=\cos{180-40}=-\cos{40}[/tex]
Atunci ajungem la suma
[tex]S=\frac{3}{2}+\frac{\cos{20}-(\cos{80}+\cos{40})}{2}[/tex]
Formula pentru o suma de 2 cosinusi este
[tex]\cos{a}+\cos{b}=2*\cos{\frac{a+b}{2}}*\cos{\frac{a-b}{2}}[/tex]
Atunci
[tex]\cos{80}+\cos{40}=2*\cos{\frac{80+40}{2}}*\cos{\frac{80-40}{2}}=2*\cos{60}*\cos{20}=2*\frac{1}{2}*\cos{20}=\cos{20}[/tex]
Atunci
[tex]S=\frac{3}{2}+\frac{\cos{20}-\cos{20}}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]\cos{2x}=2\cos^{2}{x}-1\Rightarrow \cos^{2}{x}=\frac{1+\cos{2x}}{2}[/tex]
Aplicam aceasta formula pentru cele cele 3 cosinusuri la patrat. Notam acea suma cu S
[tex]S=\frac{1+\cos{2*10}}{2}+\frac{1+\cos{2*50}}{2}+\frac{1+\cos{2*70}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{\cos{20}}{2}+\frac{\cos{100}}{2}+\frac{\cos{140}}{2}[/tex]
Cosinusul unui unghi intre 90 si 180 de grade, atunci
[tex]\cos{180-x}=-\cos{x}[/tex]
Atunci, pentru x=100 si x=140 avem
[tex]\cos{100}=\cos{180-80}=-\cos{80}[/tex]
[tex]\cos{140}=\cos{180-40}=-\cos{40}[/tex]
Atunci ajungem la suma
[tex]S=\frac{3}{2}+\frac{\cos{20}-(\cos{80}+\cos{40})}{2}[/tex]
Formula pentru o suma de 2 cosinusi este
[tex]\cos{a}+\cos{b}=2*\cos{\frac{a+b}{2}}*\cos{\frac{a-b}{2}}[/tex]
Atunci
[tex]\cos{80}+\cos{40}=2*\cos{\frac{80+40}{2}}*\cos{\frac{80-40}{2}}=2*\cos{60}*\cos{20}=2*\frac{1}{2}*\cos{20}=\cos{20}[/tex]
Atunci
[tex]S=\frac{3}{2}+\frac{\cos{20}-\cos{20}}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!