In cazul unui paralelogram laturile opuse sunt egale si paralele
adica AD=BC, AD||BC si AB=CD AB||CD
DN se afla pe aceeasi dreapta ca AD, atunci DN coliniara cu AD, DN||BC
DN=AD=BC, deci avem 2 laturi opuse paralele si egale in patrulaterul DBCN, de unde rezulta ca patrulaterul este paralelogram.
De aici rezulta ca CN||BD, si CN=BD fiind laturi opuse
In mod similar, BM este pe aceeasi dreapta cu AB, atunci BM coliniar cu AB atunci BM||CD. Mai stim ca BM=AB=CD. Atunci BM si CD sunt doua laturi opuse paralele si egale in patrulateriul BMCD. Atunci BMCD este paralelogram.
BMCD paralelogram, inseamna ca CM||BD si CM=BD.
dar CN||BD, deci inseamna ca CM si CN sunt fie paralele fie coliniare. Pentru ca ai un punct comun C, inseamna ca CM si CN sunt coliniare, adica C,M si N sunt coliniare.
Atunci daca sunt coliniare intregul segment MN va fi egal cu
[tex]MN=CM+CN=BD+BD=2BD[/tex]
