👤
a fost răspuns

In reperul cartezian x0y se considera punctele A(2,1) si B(-1,2). Determinati coordonatele punctului C∈(AB), astfel incat CA/CB=2.
DAU COROANA!!!!

Răspuns :

MIKY93EZ
Se afla mai intai ecuatia dreptei determinata de cele 2 puncte A(2;1) si B(-1;2) folosind formula:

[tex]d: \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} [/tex]

Avem:

[tex]AB \ : \ \frac{x-2}{-1-2}=\frac{y-1}{2-1} \ \ \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \ \ \frac{x-2}{-3}=y-1} \\\\ AB \ : \ x-2+3y-3=0 \\\\ \underline{AB \ : \ x+3y-5=0} [/tex]

Pentru ca punctul C(m;n) sa apartina dreptei AB acesta trebuie sa verifice ecuatia dreptei astfel incat inlocuim x-ul ecuatiei cu m si y-ul cu n.
[tex]C \ \in \ AB \Longrightarrow \ \ \ m+3n-5=0 \ \ \ (1)[/tex]

Aflam lungimea segmentului AB cu formula:
[tex]AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/tex]

Avem:

[tex]AB=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}= \sqrt{(-3)^2+1^2}=\sqrt{9+1} \\\\ \underline{AB\to \sqrt{10}} [/tex]

Enuntul problemei dadea conditia ca CA/CB=2 <=> CA=2CB ; C ∈ AB.

[CA] + [CB]= [AB]
2[CB] + [CB]= [AB]
3 * [CB]= [AB] (2)

Aflam lungimea segmentului CB pentru C(m;n) si B(-1;2).
[tex]CB=\sqrt{(-1-m)^2+(2-n)^2} [/tex]

Din (1) avem ca m=5-3n asa ca inlocuim in relatia antecedenta valoarea lui m.

[tex]CB=\sqrt{(-1+3n-5)^2+4-4n+n^2} \\\\ CB=\sqrt{(3n-6)^2+4-4n+n^2} \\\\ CB=\sqrt{9n^2-36n+36+n^2-4n+4} \\\\ CB= \sqrt{10n^2-40n+40}[/tex]

Folosim relatia (2) si avem:
[tex]3* \sqrt{10n^2-40n+40}= \sqrt{10} \\\\ 3* \sqrt{10(n^2-4n+4)}=\sqrt{10} \\\\ 3* \sqrt{10}* \sqrt{(n-2)^2}=\sqrt{10} \\\\ 3* |n-2|=1 \\\\ |n-2|= \frac{1}{3} \\\\ \hbox{Avem 2 solutii pentru n:} \\\\ 1) n^{(3}-2^{(3}= \frac{1}{3} \\\\ 3n=1+6 \\\\ n\to \frac{7}{3} \Longrightarrow m=5-\not 3* \frac{7}{\not 3} = 5-7 \ \textless \ =\ \textgreater \ m \to-2 \\\\\\ 2)n^{(3}-2^{(3}=-\frac{1}{3} \\\\ 3n=-1+6 \\\\ n\to \frac{5}{3} \Longrightarrow m=5-\not 3* \frac{5}{\not 3}=5-5 \ \textless \ =\ \textgreater \ m\to 0[/tex]

Verificam solutiile obtinute in ecuatia m+3n-5=0 pentru a obtine solutia finala.
[tex]1)m=-2 \ \ \wedge \ \ n= \frac{7}{3} \\\\ -2+\not 3 * \frac{7}{\not 3}-5=0 \\\\ -2+7-5=0 \ \ \ 'A' [/tex]
Dar se poate observa din grafic ca punctul C se afla pe prelungirea segmentului AB,ce nu convine conditiei enuntului problemei.


[tex]2)m=0 \ \ \wedge \ \ n=\frac{5}{3} \\\\ 0+ \not 3* \frac{5}{\not 3} -5=0 \\\\ 5-5=0 \ \ \ 'A' [/tex]

Ce convine conditiilor problemei date astfel ca avem solutia pentru:
[tex]\boxed{C\ \display{(0;\frac{5}{3})}}[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari