Stim ca avem relatia
[tex][a,b]=\frac{a*b}{(a,b)}[/tex] adica cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul numerelor supra cel mare mare divizor comun
In cazul nostru
[tex][4,x]=\frac{4*x}{(4,x)}[/tex]
[tex][9,x]=\frac{9*x}{(9,x)}[/tex]
Atunci
[tex]\frac{4*x}{(4,x)*(36,x)}=\frac{(36,x)*(9,x)}{9*x}\Rightarrow 36x^{2}=(4,x)*(9,x)*(36,x)^{2}[/tex]
Care este fix relatia pe care o ai tu in comentariu
Stim ca x este un nr natural, deci denumitorul trebuie sa fie un multiplu patrat perfect al numitorului.
36 este multiplul lui 4 si 9, deci oricare ar fi divizorul comun cel mai mare intre x si 4 si x si 9, atunci cel intre x si 36 va fi produsul acestora. Atunci facand urmatoarele notatii
[tex](4,x)=a[/tex]
[tex](9,x)=b[/tex]
[tex](36,x)=a*b[/tex]
Avem
[tex]36x^{2}=a*b*(a*b)^{2}\Rightarrow x^{2}=a*b\frac{(a*b)^{2}}{36}\Rightarrow x=\sqrt{a*b}*\frac{a*b}{6}[/tex]
Dar a si b stim ca sunt divizori ai lui 4 respectiv 9, deci sunt primi intre ei. Deci pentru a obtine un produs a*b patrat perfect(astfel incat radicalul sa fie un numar natural, caci x este numar natural) trebuie ca la randul lor a si b sa fie patrate perfecte.
Avem atunci 2 cazuri
1) fie a=1 si b=1, caz in care [tex]x=\sqrt{1}*\frac{1*1}{6}=\frac{1}{6}[/tex] ceea ce nu poate fi corect pentru ca x este un numar natural
2) fie a=4 si b=9(celelalte patrate perfecte ramase divizori ai lui 4 respectiv 9) caz in care [tex]x=\sqrt{36}*\frac{36}{6}=6*6=36[/tex] deco aceasta e valoarea corecta
